-сетями относительно нормы разреза

Срезанная норма вещественной матрицы A = ( a i , j ) ∈ R n × n - максимум по всем I ⊆ [ n ] , J ⊆ [ n ] величины | Σ я ∈ I , J ∈ J я , J | ,$||A||_C$$A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$$I \subseteq [n], J \subseteq [n]$$\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

Определите расстояние между двумя матрицами $A$ и $B$ как $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

Какова мощность наименьшей $\epsilon$ сети метрического пространства $([0,1]^{n\times n}, d_C)$ ?

т.е. размер наименьшего подмножества такой, что для всех A ∈ [ 0 , 1 ] n × n существует A ′ ∈ S такой, что d C ( A , A ′ ) ≤ ϵ . $S \subset [0,1]^{n\times n}$$A \in [0,1]^{n\times n}$$A' \in S$$d_C(A, A') \leq \epsilon$

(EDIT: Я забыл упомянуть, но я также заинтересован в «не правильный» -сетями с S ⊂ R п × п + - т.е. если элементы е -Net есть записи за пределами [0,1 ], это тоже интересно.)$\epsilon$$S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$$\epsilon$

Меня интересуют как верхние, так и нижние границы.

Следует отметить , что методы покроя sparsifier подразумевают -сеть для метрик огранки, но дать что - то сильнее , чем мне нужно - они дают ε -сети , для которых можно эффективно найти й -близко точку в любую матрицу просто путем выборки из этой матрицы. Можно было бы предположить , что существует гораздо меньше е -сетями , для которых вы не можете просто образец находим в е -близко точку в произвольной матрице.$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$

Я изначально задавал этот вопрос здесь, на Mathoverflow.

Вот простая оценка. Здесь мы называем множество S ⊆ X ε -Net метрического пространства X , когда для каждой точки х ∈ Х , существует точка s ∈ S таким образом, что расстояние между х и ев является не более е . Если вы хотите строгое неравенство в определении ε-сети , вы можете слегка изменить значение ε .

Он считает, что || A || _∞ ≤ || A || _C ≤ n ² || A || _∞ , где || A || _∞ обозначает entrywise Max-норму в п × п матрицы А .

Легко построить ε- сеть метрического пространства ([0,1] ^N , d _∞ ) с размером ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N , и нетрудно показать, что этот размер является минимальным. (Чтобы показать минимальность, рассмотрим точки ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N , координаты которых кратны 1 / /1 / (2 ε ) −1⌉, и покажем, что расстояние между любыми двумя из этих точек больше 2 ε .) Установив N = n ² и объединив это с вышеупомянутым сравнением между нормой среза и максимальной нормой, минимальная мощность ε-сеть относительно нормы среза составляет не менее ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^{n 2} и не более ⌈ n ² / (2 ε ) ⌉ ^{n 2} .

---

Обновление : если мои вычисления верны, лучшая нижняя граница Ω ( n / ε ) ^{n 2} может быть получена с помощью аргумента громкости. Для этого нам понадобится верхняя граница объема ε- шара относительно нормы разреза.

Сначала мы рассмотрим «норму среза» одного вектора, которая является максимумом между суммой положительных элементов и отрицательной суммой отрицательных элементов. Нетрудно показать, что объем ε- шара в ℝ ⁿ относительно этой «нормы отсечения» равен

$$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$$

$$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$$

Далее, так как разрезанная норма в п × п матрицы А больше или равен разрезанная норму каждой строки, объем ε -шара в ℝ ^{п × п} не превосходят в п - й степени объема ε- мяч в ℝ ⁿ . Следовательно, размер ε- сети [0,1] ^{n × n} должен быть не менее

$$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$$

где последнее равенство - скучный расчет, в котором мы используем формулу Стирлинга : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).