Игра на нескольких графиках

Рассмотрим следующую игру на ориентированном взвешенном графе $G$ с чипом в некотором узле.

Все узлы $G$ отмечены буквой A или B.

Есть два игрока Алиса и Боб. Цель Алисы (Боба) - сдвинуть фишку к узлу, обозначенному буквой A (B).

Первоначально Алиса и Боб имеют $m_A$ и $m_B$ долларов соответственно.

Если игрок находится в проигрышной позиции (то есть текущая позиция фишки помечена противоположной буквой), он или она может переместить фишку в соседний узел. Такой ход стоит несколько долларов (вес соответствующего ребра).

Игрок проигрывает, если он или она находится в проигрышной позиции и не имеет денег, чтобы это исправить.

Теперь рассмотрим язык GAME, который состоит из всех ориентированных взвешенных графов $G$ (все веса являются положительными целыми числами), начальной позиции фишки и прописных букв Алисы и Боба, указанных в унарном представлении.

такой, что у Алисы есть выигрышная стратегия в этой игре.

Язык GAME принадлежит P . Действительно, текущая позиция игры определяется позицией фишки и текущими столицами Алисы и Боба, поэтому динамическое программирование работает (здесь важно, чтобы начальные заглавные буквы были указаны в унарном представлении).

Теперь рассмотрим следующее обобщение этой игры. Рассмотрим несколько ориентированных взвешенных графов $G_1, \ldots G_n$ с чипом на каждом графе. Все узлы всех графиков помечены буквами A и B. Теперь Боб выигрывает, если все фишки помечены буквой B, а Алиса побеждает, если хотя бы одна фишка помечена буквой A.

Рассмотрим язык MULTI-GAME, который состоит из всех графов $G_1, \ldots, G_n$ , начальных позиций и столиц $m_A$ и $m_B$ (в унарном представлении), так что Алиса выигрывает в соответствующей игре. Здесь важно, чтобы заглавные буквы были общими для всех графиков, поэтому речь идет не только о нескольких независимых ИГРАХ.

Вопрос В чем сложность языка MULTI-GAMES? (Это также относится к P или есть некоторые причины полагать, что эта проблема сложная?)

UPD1 Нил Янг предложил использовать теорию Конвея. Однако я не знаю, возможно ли использовать эту теорию для нескольких игр с общим капиталом.

UPD2 Я хочу показать пример, который показывает, что MULTI-GAME не очень прост. Пусть Алиса разделит свою столицу$m_A$ к некоторому$n$ точки$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ (она собирается использовать я доллары я -му граф). Определим б я как минимальное число такоечто я -м игры Боб выигрываетесли Алиса и Боб имеют я и б я долларов соответственно. Если b 1 + … b$a_i$$i$$b_i$$i$$a_i$$b_i$$b_1 + \ldots b_n > m_B$ (для некоторого разделения$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ ) тогда Алиса побеждает. Однако обратное неверно. Рассмотрим две копии следующего графика (изначально чип находится слева вверху A):

Для одного графика Боб выигрывает, если $m_A=0$ и $m_B=2$ или если $m_A=1$ и $m_B=3$ . Однако для игры с двумя копиями этого графа Боб проигрывает, если $m_A=1$ и $m_B=5$ . Действительно, Боб придется потратить $4$ или $5$ долларов , чтобы сдвинуть обе фишки на узел , отмеченный $B$ . Затем Алиса может переместить хотя бы одну фишку в узел, помеченный буквой A. После этого у Боба нет денег, чтобы сохранить свою позицию.

UPD3 Так как вопрос для произвольных графов кажется трудным, рассмотрим конкретные графы. Обозначим узлы некоторого графа $G_i$ , как $1, \ldots k$ . Мое ограничение следующее: для каждой пары $i<j$ существует ребро от $i$ до $j$ и обратного ребра нет. Также существует ограничение на стоимость ребер: для $i<j<k$ ребро от $j$ до $k$ не больше, чем от $i$ до $k$ .

Поскольку ответ Стивена Стадницкого, по-видимому, не был принят запрашивающим, я подумал, что все же может быть полезно предоставить обновление: у меня есть сокращение от 3SAT до MULTI-GAME. Я не внимательно изучил ответ Стивена и не проследовал по предоставленной им ссылке, но, основываясь на следующем сокращении, я не удивлюсь, если MULTI-GAME действительно PSPACE-завершена. Однако, возможно, я не стану расширять этот результат за пределы NP-твердости.

Экземпляр 3SAT состоит из пунктов $C_1, \dots, C_m$ , причем каждое предложение имеет вид $C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$ где каждый $L_{ik}$ является одной из переменных $x_1, \dots, x_n$ или отрицание одной из переменных.

Для такого экземпляра 3SAT сокращение создает экземпляр MULTI-GAME, состоящий из $n + 1$ игр - по одной на каждую переменную, а другая игра используется в качестве поглотителя избыточного капитала. Сначала мы определим структуру графиков для каждой игры, затем рассмотрим пример и обсудим основную идею, а затем выясним, какие именно затраты следует назначить ребрам, чтобы сделать сокращение устойчивым.

Сначала переменный игровой граф $G_j$ для каждой переменной $x_j$ :

1. Создайте вершину с меткой $x_j$ помеченную буквой A (т. Е. Выигрышную вершину для Алисы). Фишка для $G_j$ начинается в вершине $x_j$ .
2. Создайте вершину, помеченную буквой $T$ и вершину, помеченную буквой $F$ , каждая из которых помечена буквой B (то есть обе являются выигрышными позициями для Боба). Создайте направленные ребра от $x_j$ до $T$ и $F$ , оба с ценой $1$ .

3. Для каждого литерала $L_{ik}$ предложения $C_i$ , если $L_{ik} = x_j$ или $L_{ik} = \neg x_j$ , создайте вершины с меткой $C_iTA$ и $C_iFA$ помеченные A, и вершины, помеченные $C_iTB$ и $C_iFB$ помеченный буквой B. Добавьте ребра $(T, C_iTA)$ и$(F, C_iFA)$ с затратами, установленными в$l_{ik}$ . (Мы определим$l_{ik}$ позже.)

   Добавьте ребра $(C_iTA, C_iTB)$ и $(C_iTA, C_iTB)$ . Если $L_{ik} = x_j$ , то установите стоимость ( C i T A , C i T B ) равной l i k - 1 и ( C i T A , C i T B ) , то стоимость l i k . В противном случае установите ( C i T A , C i T B )$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$ равной $l_{ik}$ а стоимость $(C_iTA, C_iTB)$ равной $l_{ik} - 1$ .

Столичная раковина игры:

1. Создайте вершину, помеченную буквой $C$ , помеченную буквой B.
2. Для каждого предложения $C_i$ создайте вершину с меткой $C_iA$ помеченную буквой A, и вершину с меткой $C_iB$ помеченную буквой B. Создайте ребро $(C, C_iA)$ со стоимостью ребра$c_i$ (снова будет определено ниже) и ребро$(C_iA, C_iB)$ также со стоимостью ребра$c_i$ .

Это много, чтобы принять, так что, надеюсь, пример делает это немного более усваиваемым. Наш экземпляр 3SAT выглядит следующим образом:

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

Сокращение превращает этот экземпляр в 4 переменных игровых графа и 1 граф поглощения капитала. На диаграммах ниже красные вершины отмечены буквой A (т. Е. Являются выигрышными позициями для Алисы), а голубые вершины отмечены буквой B (это выигрышные позиции для Боба).

График для $x_1$ :

График для $x_2$ :

$x_3$

$x_4$

График для капитального стока:

Идея заключается в следующем:

$n$$n$

$c_i$$l_{ik}$$C_i$

Стратегия Алисы в предложении $C_i$ : пусть $C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$ . Для каждого $k \in \{1, 2, 3\}$ , если $L_{ik} = x_j$ или $\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

($C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$ значения и стартовые капиталы Алисы и Боба должны гарантировать, что указанная скидка является решающим фактором при победе Алисы или Боба.

$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$

$9b^{10} + b^8$

$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

$m$

$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

$C_i$$C_i$

Если открытие Боба удовлетворяет всем условиям, мы можем поспорить об ограничениях параметров Алисы, которые исключают любую другую возможность победы Алисы. Обратите внимание, что порядок, в котором Алиса делает свои ходы, не имеет значения, поскольку ответы Боба являются вынужденными, и общий капитал, который Бобу потребуется для ответа на ходы Алисы, не изменяется в соответствии с порядком ходов Алисы.

• $\ge 5b^{10}$
• $\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• $\le 8b^{10} + 4b^7$

$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• $l_{j3}$$C_j$$\le 3b^5$
• $l_{j3}$$l_{i3}$$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$ термин порядка в оставшемся бюджете Боба. Но тогда либо$b^2$$b^2$

$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

Замечание к моему предыдущему ответу: задним числом очевидно, что для варианта MULTI-GAME, описанного в TABLE-GAME, который я определил в комментариях к этому ответу, DP в виде рюкзака достаточно, чтобы определить, какой игрок имеет выигрышную стратегию. Вы можете утверждать, что лучшая стратегия Боба - всегда реагировать на проигрышное состояние в данном игровом столе с минимально возможными инвестициями (это не может отрезать последующий ход для Боба, который он имел бы в противном случае), и оттуда, что заказ ходов Алисы не имеет значения. Затем возникает вопрос выбора доли капитала Алисы между играми таким образом, чтобы сумма минимальных выигрышных ответов Боба над этими играми превышала его бюджет, что можно переосмыслить как проблему типа рюкзака, которая имеет DP за полиномиальное время из-за до одинарного представления затрат. (Мой рецидив на самом деле будет

$n$

Я не особо задумывался о вашем особом случае с UPD3 . Я подозреваю, что это также NP-hard, потому что мои переменные гаджеты с первого взгляда кажутся такими, что они могут быть адаптированы к этим ограничениям, но я, вероятно, не буду вдаваться в подробности.

Обновление: скорее всего, неверное, оставив на данный момент запись о том, что исследовали проспект. Смотрите комментарии.

Обновление 2: определенно неверно.

$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$ , вершины 1, 2, 3 помечены как B, A, B соответственно, а ребрам назначены затраты, равные 1.

$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$ трех игр, , причем все три игры начинаются с вершины 1. Очевидно, что Алиса не может выиграть эту игру.

$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$ . Если$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$ .

$u$$v$ приводит к сбою повторения в экземпляре в обновлении 2 вопроса.

$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

предвычисления

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

$x \le m_A$$y \le m_B$ .

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

а также

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$