Детерминированное снижение ошибок, современное состояние?

Предположим, что у каждого есть рандомизированный (BPP) алгоритм $A$ использующий $r$ битов случайности. Естественные способы увеличить вероятность успеха до $1-\delta$ для любого выбранного $\delta>0$ :

Независимые прогоны + голосование большинством: прогоните $A$ независимо $T=\Theta(\log(1/\delta)$ раз и получите большинство голосов выходов. Для этого требуется $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ битов случайности, и увеличивает время работы на коэффициент $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .
Попарно независимые прогоны + Чебышев: запустить «попарно независимо друг от друга» раз, и сравнить с порогом Для этого требуется биты случайности и взрывает время работы по фактор. $A$ $T=\Theta(1/\delta)$ $rT =\Theta(r/\delta)$ $T=\Theta(1/\delta)$

Karp, Pippenger и Sipser [1] (очевидно, я не мог получить в руки саму бумагу, это подержанный счет), предоставив альтернативные подходы, основанные на сильных регулярных расширителях: по сути, посмотрите $2^r$ узлы расширителя как случайные семена. Выберите случайный узел расширителя, используя $r$ случайных битов, а затем

оттуда сделайте короткую случайную прогулку длиной $T=\Theta(\log(1/\delta))$ и выполните $A$ на $T$ точках соответствующих узлам на пути, прежде чем принимать большинство голосов. Это требует $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ битов случайности и увеличивает время работы на коэффициент $T=\Theta(\log(1/\delta))$ .
Выполните $A$ на всех соседях текущего узла (или, в более общем случае, на всех узлах на расстоянии $c$ текущего узла), прежде чем принимать большинство голосов. Это требует $r$ битов случайности и увеличивает время работы на коэффициент $T=d$ , где $d$ - градус (или $d^c$ для расстояния $c$ окрестности. При правильной настройке параметров это приводит к стоимости $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ здесь.

Меня интересует последний пункт, который соответствует снижению детерминированных ошибок. Произошло ли какое-либо улучшение после [1], уменьшающее зависимость $T$ от $\delta$ ? Каков наилучший достижимый ток - $1/\delta^\gamma$ для которого $\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$ ? (Для $\textsf{BPP}$ ? Для $\textsf{RP}$ ?)

Примечание: я также (очень) интересуюсь $\textsf{RP}$ вместо $\textsf{BPP}$ . Как было введено в [2], соответствующая конструкция больше не является экспандерами, а диспергаторами (см., Например, эти заметки Та-Шмы, особенно Таблица 3). Однако я не смог найти соответствующих границ для детерминированного (ни на один более случайный бит, чем разрешенный $r$ ) усиления, а также (что более важно), каковы современные явные диспергирующие конструкции для соответствующего диапазона параметров. ,

[1] Карп Р., Пиппенгер Н. и Сипсер М., 1985. Компромисс между случайностью и временем . В конференции AMS по вероятностной вычислительной сложности (том 111).

[2] Коэн А. и Вигдерсон А., 1989, октябрь. Диспергаторы, детерминированное усиление и слабые случайные источники. В 30-м ежегодном симпозиуме по основам информатики (с. 14-19). IEEE.

— Климент С.
источник

Мое понимание заключается в следующем ( в основном на вышеупомянутых лекциям Та-Шма , те ван Melkebeek , и те , от Cynthia Дворк . Насколько я могу судить, диспергаторы велики , чтобы усилить экспоненциально данные еще несколько случайных битов , но если есть 0 лишних битов случайности

— Клемент С.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

1 / δ

$1/\delta$

Также важный (но не дает ответ на конкретный вопрос): Раздел 3.5.4 и Раздел 4 (задача 4.6) из Салили Вадх в псевдослучайности .

— Клемент С.

$O(1/\delta)$ $\lambda$ $O(\sqrt{\delta})$ $\lambda = O(1/\sqrt{d})$

$C/\delta$ $C$ $O(1/\delta)$

$\Omega(1/\delta)$

— гость
источник

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$