П и Описательная Сложность

В зоопарке сложности говорится [ 1 ], что в описательной сложности может быть определен тремя различными типами формул: который также является , а также как . $P$ $FO(LFP)$ $FO(n^{O(1)})$ $SO(HORN)$

Однако есть некоторые исключения, например, не может быть выражена FP (FP обладает такой же выразительной силой, что и LFP). и не определяются логикой первого порядка. Некоторые проблемы даже не могут быть аксиоматизированы с помощью конечного числа переменных, таких как , , . $Evenness$ $Connectivity$ $2-colourability$ $Evenness$ $Perfect~Matching$ $Hamiltonicity$

Иммерман предположил, что логика фиксированных точек + подсчет (FPC) могут быть возможной логикой для захвата P.

Тем не менее, Cai Furer, Immerman показал, что существуют свойства графа полиномиального времени, которые не выражаются в FPC [ 2 ]. Задача решения линейных уравнений над двухэлементным полем не определима в бесконечной логике со счетом [ 3 ]. Вы можете обратиться к [ 4 ] для более подробной информации.

Итак, какая логическая структура может захватить P в целом? Положительный ответ заключается в том, что класс упорядоченных конечных структур определим в логике наименьшей неподвижной точки тогда и только тогда, когда он разрешим в P по Иммерману [ 5 ] и Варди [ 6 ]. Как насчет неупорядоченного дела? Можете ли вы показать больше контрпримеров утверждения в зоопарке сложности?

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— Рупей Сюй
источник

Вот учебник, дающий обзор результатов по этому конкретному вопросу: cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— Денис

@ Денис Спасибо, Денис! Этот учебник содержит больше логических структур для P. Традиционно, когда мы говорим о проблеме, разрешимой за полиномиальное время, мы думаем, что это «легко». Тем не менее, логические структуры P выглядят так сложно, и все еще есть много неизвестных случаев и открытых проблем.

— Рупей Сюй

Да, может показаться, что набор «простых» задач (т. Е. P) не так хорошо структурирован, и его трудно охарактеризовать чем-то вроде «простых проблем», которые можно получить из основных задач A, B, С, объединенный способами X, Y ". Всегда есть более простые задачи другого типа, требующие умных полиномиальных алгоритмов с новыми идеями.

— Денис

В последнее время Мартин Грохе добился существенного прогресса в этом вопросе. Он дает логику захвата полиномиального времени на классах графов, встраиваемых в фиксированную поверхность: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 Редактировать: общий случай кажется нерешенным (но я ни в коем случае не решаюсь) эксперт по этому вопросу).

— Герман Грубер
источник

Да. Есть много алгоритмических результатов мета-теоремы (таких как знаменитая теорема Курселя), которые могут охватить простые случаи, следующая ссылка - хороший обзорный документ. people.cs.umass.edu/~immerman/pub/… Однако эти результаты также имеют ограничение для структур графов, на которых выполняется задача, таких как дерево, ограниченная ширина дерева, плоские графы, второстепенные графы и т. д. никакие полные логические структуры не могут пока захватывать P в общих графах без порядка.

— Рупей Сюй

Я предполагаю, что работа Грохэ является совершенно особенной, потому что в этом случае логика исчерпывает все P на удивительно большом классе графов, то есть нет контрпримеров. Если я правильно понял, быть исчерпывающим - сложная часть. Результаты MSO, о которых вы упоминаете, похоже, не имеют этой функции. Но мой опыт в этом отношении очень ограничен, я могу ошибаться здесь.

— Герман Грубер