Насколько мала может быть слоистая логическая схема для функции со сложностью схемы

Рассмотрим функцию вычисляется с помощью булевой схемы с входами размера в базисе (с полустепень захода 2 для ворота). $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

Булева схема является слоистой, если она может быть размещена в слоях ( - глубина схемы) вентилей, так что любой край между двумя вентилями соединяет смежные слои. $d$ $d$

Учитывая, что имеет логическую схему размера , что мы можем сказать о размере многоуровневой схемы, вычисляющей ? Существует тривиальная верхняя граница: добавляя фиктивные узлы к на каждом слое, пересекаемом ребром, мы получаем многослойную схему размером не более . Но можем ли мы стать лучше вообще (например, или ), или для интересного класса цепей? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

Фон. Этот вопрос вытекает из недавних результатов в криптографии, которые показывают, как безопасно вычислять многоуровневые логические схемы размера с помощью связи (например, или ; Я пытаюсь понять, насколько ограничительным может быть это ограничение для слоистых логических схем на практике, как для общих схем, так и для «естественных» схем. Тем не менее, я не нашел много информации о слоистых схемах в литературе; соответствующие указатели также приветствуются. $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— Жоффруа Коуто
источник

Вот пример схемы, которую сложно преобразовать в многоуровневую схему без значительного увеличения размера. Определите

как некоторую функцию, которая может быть вычислена в размере

. Определите

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

, и пусть

будет

Итерации

. Тогда

имеет размер

. Кажется, трудно построить многоуровневую схему с размером менее

. Таким образом, если

, возможно, нам следует ожидать разрыва между размером схемы и размером многоуровневой схемы. Не доказательство, просто наводящий пример, чтобы стимулировать интуицию.

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

Насколько я помню, для слоистых цепей самая известная нижняя граница имеет вид

. Это особенно легко доказать для функции

to-

. Возьмем, например, линейное отображение

где

имеет нули только на главной диагонали. Тогда на каждом слое должно быть не менее

вентилей, а количество слоев не менее

. Обратите внимание, что эта функция может быть легко вычислена с помощью обычной схемы размера

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

. Для функций с одним выходом также возможно доказать ту же нижнюю границу, но я не помню аргумента.

O (n)

$O(n)$

— Александр Сергеевич Куликов

Большое спасибо за комментарии. @ AlexanderS.Kulikov, твой аргумент фольклорный, или у тебя есть какой-то указатель на работы над многослойными схемами?

имеет смысл - я был бы очень удивительно , что - то меньше , - но это

единственная известная верхняя граница?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Жоффруа Куто

Я думаю, это фольклор, да. Я не уверен, что получил вопрос о верхней границе

. Вы можете взглянуть на следующую статью: cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Александр Сергеевич Куликов,

Я думаю, что мы не знаем преобразования лучше, чем

в целом. Обратите внимание, что схема размером

и глубиной

может быть преобразована в слоистую схему размером не более

. (Что в худшем случае дает нам схему размером

.) Я просто хотел бы отметить, что если бы мы могли доказать нижнюю границу

для размера слоистой схемы, это дайте нам суперлинейную нижнюю границу размера схем логарифмической глубины для этой функции. Этот вопрос остается открытым более 40 лет.

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— Алексей Головнев

Насколько я знаю, три класса слоистых схем были изучены. Во всех этих определениях дуги допускаются только между двумя смежными слоями.

Схема называется синхронной ( Harper, 1977 ), если все шлюзы расположены в слоях, а входы должны быть на уровне 0. (Эквивалентное определение: для любого вентиля $g$ все пути от входов до $g$ имеют одинаковую длину.)
Схема является локально синхронной ( Белага 1984 ), если каждый вход происходит ровно один раз, но на произвольном уровне.
Схема является многоуровневой ( Gál, Jang 2010 ), если ворота и входы организованы в слои, входы могут возникать несколько раз на разных уровнях. (Эквивалентное определение: для любого вентиля $g$ и выходного вентиля $o$ все направленные пути от $g$ до $o$ имеют одинаковую длину.)

Легко видеть, что три класса перечислены от самого слабого до самого сильного (а класс неограниченных цепей еще сильнее).

Что касается размера многоуровневой схемы, вычисляющей неограниченную схему размера $s$ мы знаем следующее:

$s$ $s^2$
$\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$
Существуют явные функции

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$n$

$f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ $n$

— Алекс Головнев
источник