Существуют ли процедуры полу-решения для этой теории?

У меня есть следующая типизированная теория

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

с уравнениями для всех членов:

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

Я ищу процедуру полу-решения, которая сможет доказать уравнения в этой теории, учитывая набор гипотетических уравнений. Также не ясно, существует ли полная процедура принятия решения или нет: кажется, нет никакого способа закодировать слово проблема для групп в нее. Нил Кришнасвами показал, как закодировать слово «проблема» в этом, так что общая проблема неразрешима. Субтеория ассоциативности и тождества может быть легко решена с помощью моноидальной модели теории, в то время как полная проблема сложнее, чем закрытие конгруэнтности. Любые ссылки или указатели будут приветствоваться!

Вот явный пример того, что мы надеемся, что сможем автоматически доказать:

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

$X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$$z' \circ y' \circ x'$

Тем не менее, проблема слова решаема для многих конкретных групп, поэтому, если у вас есть более подробная информация о проблеме, это может помочь. В частности, одна идея из теории групп, которая может вам очень помочь, состоит в том, что абсолютные представления конечно порожденных групп разрешимы - неравенства могут сократить пространство поиска, достаточное для того, чтобы сделать теорию разрешимой.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Еще одна мысль, которая у меня была, заключается в том, что добавление взаимосвязей может быть полезным инструментом для вас, даже если конкретные модели, которые вас интересуют, проверяют уравнения. Это связано с тем, что в категориальных ситуациях вам часто нужны только «хорошие» уравнения для некоторого значения «хорошего», и вы можете использовать неравенства, чтобы исключить слишком злые для вас решения. Ваша процедура принятия решения все еще может быть неполной, но вы можете получить более естественную характеристику решений, которые она может найти, чем «мы ищем возможные деревья доказательств на глубину до 7».

Удачи; та вещь, которую ты делаешь, выглядит довольно круто!

Одна ссылка: « Автоматизация доказательств в теории категорий » Декстера Козена, Кристофа Крайца и Евы Рихтер.