Несопоставимые натуральные числа

Игра «Назови наибольшее число» просит двух игроков тайно записать число, и победителем становится тот, кто записал большее число. Игра обычно позволяет игрокам записывать функции, оцененные в определенный момент, поэтому $2^{2^{2^{2}}}$ также было бы приемлемо записать.

Значение функции Busy Beaver, $BB(x)$ , не может быть определено (в ZFC или любой разумной последовательной аксиоматической системе) для больших значений $x$ . В частности, $BB(10^4)$ не может быть определен согласно этой статье . Однако это не означает, что мы не можем сравнивать значения функции Busy Beaver. Например, мы можем доказать, что $BB(x)$ строго монотонна .

Предположим, что мы позволяем игрокам записывать выражения, включающие композиции элементарных функций, натуральные числа и функцию Busy Beaver. Есть ли два выражения, которые два игрока могут записать так, что мы можем доказать в ZFC, что определение победителя в ZFC невозможно (при условии, что ZFC непротиворечив)?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Первоначально этот вопрос сказал «... произвольные комбинации вычислимых функций, натуральных чисел и функции Busy Beaver».

Если мы позволим $f(x)$ принять значение $3$ если $BB(x) >$ [что-то безбожно большое и невыразимое на этом сайте] и $7$ если это не так, то $f(10^4)$ и $6$ несопоставимы.

Это не удовлетворяет меня, в основном потому, что $f$ не является разумной функцией для кого-то, чтобы использовать в этой игре. Я не понимаю, как выразить свою интуицию по этому поводу, поэтому я ограничил вопрос, чтобы избежать кусочных функций.

computability undecidability

— Стелла Бидерман
источник

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

Согласно ответу в этом посте: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/… кажется, что BB действительно строго монотонен

— Ави Тал

Искусство играть в такие игры состоит в том, чтобы нарушать правила, так что я не думаю, что можно считать, что какая-то функция неразумна. Если бы мы играли в игру, я бы определенно поразил вас самой отвратительной функцией, которую я могу себе представить (и я логик).

— Андрей Бауэр

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

$B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

$\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

$m_i$ $n_i$

— Бьёрн Кьос-Хансен
источник

n, m

$n,m$

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$