Краткая схема представления графов

Класс сложности PPAD (например, вычисление различных равновесий по Нэшу) может быть определен как совокупность полных задач поиска, многократно сводимых к END OF LINE :

КОНЕЦ ЛИНИИ : Для заданных схем S и P с n входными битами и n выходными битами, такими что P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , найти вход x в {0,1} ⁿ такой, что P (S (x)) ! = X или S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Схемы или алгоритмы, такие как S и P, неявно определяют экспоненциально большой граф, который раскрывается только на основе запроса к запросу (чтобы сохранить проблему в PSPACE !), Например , документ Пападимитру .

Тем не менее, я не понимаю, как можно было бы разработать схему, которая бы включала произвольные графы (если у графа есть систематическая структура, то найти схему гораздо проще). Например, как можно спроектировать схему полиномиального размера, которая представляет экспоненциально длинную направленную линию, с меткой all-0 для исходной вершины и случайно назначенными двоичными метками для всех других вершин? Это, кажется, подразумевается в документах, связанных с PPAD .

Самым близким из поиска в Интернете я нашел статью Гальперина / Виджерсона , но описанная схема содержит две метки вершин и возвращает логический ответ: «Эти вершины смежны?»

Итак, как бы вы спроектировали схему полиномиального размера графа с экспоненциальным размером, который принимает n- битный вход и выводит n- битную метку своего предшественника или преемника соответственно? Или даже кто-то знает о ресурсе, который это хорошо объясняет?

Ваш вопрос, кажется, задает вопрос: как представить произвольные графы (или даже произвольные графы путей) как схему полиномиального размера? Ответ - нет. Число различных графов путей с 2 ⁿ вершинами равно (2 ⁿ ) !, намного больше, чем число различных цепей с n ^c воротами (экспоненциально по n ^c log n). Таким образом, почти все графы с таким количеством вершин не могут быть представлены краткой схемой.

Поэтому, как вы намекаете, в некотором смысле только графы, которые имеют высокую степень структуры, могут быть представлены таким образом. Вот что делает классы сложности, такие как PPAD, интересными: несмотря на известную нам структуру входных графов для задачи EOL, мы, похоже, не знаем, как использовать преимущества структуры для эффективного решения проблемы.

Если я неправильно понимаю ваш вопрос, и вы действительно спрашиваете: как создать схему, которая даже соответствует входным требованиям для EOL, даже для очень сильно структурированного графа: попробуйте граф путей, который соединяет вершину x (рассматривается как число в двоичном виде) к x-1 и x + 1, с концами в нуле и в 2 ^ n-1. Или, если вы хотите что-то менее тривиальное, для которого, кажется, труднее решить EOL: пусть E и D будут функциями шифрования и дешифрования для фиксированного ключа в вашей любимой криптосистеме, пусть соседями x в графе будут E (x) и D (x), и пусть концы линии равны 0 и D (0).

Поскольку большинство графов на n вершинах случайны по Колмогорову, их нельзя описать схемой (или любой другой программой), которая значительно меньше самого графа. (Если вы не знаете, что означает случайность по Колмогорову, вы можете в основном принять вывод предыдущего предложения в качестве его определения. Тогда полагайтесь на тот факт, что почти все строки являются случайными по Колмогорову.)

Хотя я не очень хорошо знаком с работами, которые вы цитировали, я предполагаю, что они всегда говорят о графах, описываемых схемами. Другими словами, фокусируясь на схемах, они по существу ограничивают свое внимание классом графов, которые имеют краткие схемы (размер которых логарифмичен по размеру графа).