Какие примеры того, как может быть полезна неоднородность?

Мне любопытно, как вы видели неоднородность полезной в вычислениях. Одним из способов является случайность, как в$BPP \subseteq P/poly$и другой - это справочные таблицы, которые используются, чтобы показать, что все языки имеют неоднородные схемы.

В частности, меня интересуют способы использования объектов, о которых известно, что они существуют с помощью вероятностного метода и других неконструктивных (или недостаточно конструктивных) методов доказательства с использованием неравномерности. Я бы предпочел, чтобы примеры были естественными, а не надуманными. Чтобы было ясно, схема для надуманной проблемы может быть что-то вроде: учитывая некоторый язык$L \in P$Я создаю схему полиномиального размера, вычисляя некоторые действительно сложные функции $f(|x|)$ используя мой совет и спрашивая, $f(|x|)^{n/|f(|x|)|} \oplus x \in L$,

Пример, который мне нравится, это аргумент $\mathrm{NE\subseteq coNE}/(n+1)$путем подсчета строк на языке (см., например, https://blog.computationalcomplexity.org/2004/01/little-theorem.html ).

Одним из примеров является $\mathbf{NL} \subseteq \mathbf{UL}/\text{poly}$, Эта теорема была доказана Рейнхардтом и Аллендером в их работе «Делая недетерминированность однозначной» . Не вдаваясь в детали, совет в их алгоритме состоит из последовательности присваиваний веса ребра, так что для любого орграфа$G$ кодируется $n$-битная строка, некоторое присваивание в последовательности делает $G$«мин-уникальный». Можно показать, что такая последовательность существует вероятностным методом. Основной вклад Рейнхардта и Аллендера состоял в том, чтобы дать однозначные алгоритмы лог-пространства для выяснения, какое назначение в последовательности работает для конкретного заданного орграфа.$G$ и для принятия решения $s$-$t$ связность на минимальном уникальном орграфе.

Как с $\mathbf{BPP} \subseteq \mathbf{P}/\text{poly}$Предполагается, что неоднородность здесь на самом деле не нужна, т. е. предполагается, что $\mathbf{NL} = \mathbf{UL}$,

Я не уверен, соответствует ли это тому, что вы ищете, но есть несколько результатов, доказывающих теоремы иерархии для классов семантической сложности с одним небольшим советом, где никакая теорема иерархии не известна без совета. Самый известный пример - BPP, для которого мы не знаем теорему об иерархии, но Fortnow и Santhanam показали, что она существует с одним небольшим советом (основываясь на результате Барака, который использовал больше советов). В этой статье Мелкебека и Первышева даются ссылки и история, а также теорема, которая, кажется, включает в себя предыдущие.