Максимальное совпадение M с условием G [M] не содержит 2K_2

Есть ли в литературе что-нибудь близкое к следующей проблеме:

Дан двудольный граф $G(V,E)$ со сбалансированным разделением на две части $\{U,W\}$ существует ли идеальное соответствие $M$ в $G$ такой, что на каждые 2 ребра $u_1w_1, u_2w_2\in M$есть преимущество $u_1w_2$ или край $u_2w_1$ (или оба) в $G$?

Другими словами, есть ли идеальное соответствие $M$ такой, что индуцированный подграф $G[M]$ является $2K_2$-бесплатно. (При сбалансированном разделении я имел в виду$|U|=|W|$.)

Дополнительное условие является чем-то вроде противоположной крайности тому, что используется в задаче индуцированного сопоставления. Еще одна, возможно, связанная с этим проблема - поиск соответствия максимального размера$M$ в двудольном графе $G$ такое, что сжатие ребер в $M$ минимизирует количество ребер, оставшихся в графе.

Я проверил список соответствующих проблем, приведенных Пламмером в разделе «Сопоставление и упаковка вершин»: насколько они сложны? безуспешно.

PS: эта проблема является частным случаем решения этой проблемы: - для данного $k\in\mathbb{N}$есть ли максимальное совпадение $M$ двудольного графа $G$ такой, что $G[M]$ является $2K_2$и $|M|>k$, Если входной график является сбалансированным двудольным и$k=|U|$мы получаем вышеупомянутую проблему.

Спасибо.

Сюрприз! (для меня).
Этот тип соответствия уже изучен в литературе. Они называются связанными совпадениями .

Они были представлены Пламмером, Штибитцем и Тофтом в их исследовании гипотезы Хадвигера. См. Главу «Связанные совпадения» Кэмерона в книге «Комбинаторная оптимизация - Эврика, вы сжимаетесь!»

Статус связанных совпадений в двудольных графах (необязательно сбалансированный) открыт, насколько мне известно ( я буду обновлять ). Взвешенная версия задачи является NP-полной для двудольных графов. Задача разрешима за полиномиальное время для хордальных двудольных графов.

Обновление: проблема является NP-полной для сбалансированных двудольных графов (то есть, точная проблема, заданная в вопросе). Это доказано в работе Alon et al. " Способность к многозадачности: результаты твердости и улучшенные конструкции ". Они также сообщают, что найти размер наибольшего связанного совпадения трудно приблизительно в пределах$n^{1-\epsilon}$ если NP = co-RP.

Примечания, добавленные ранее (сохранены для заинтересованных людей):
« Связанные соответствия в хордовых двудольных графах » Джобсона и соавт. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) и « Связанные соответствия в специальных семействах графов » по Караджанису (тезис) - две заметные ссылки.

Есть еще один способ задать этот вопрос. Есть ли идеальное соответствие$M$ сбалансированного двудольного графа $G$ так что каждая пара ребер в $M$ точно на расстоянии 1 друг от друга в $G$?
(Расстояние между краями$e$ а также $e’$ длина кратчайшего пути из вершины $e$ до вершины $e’$).

Благодаря этому дополнительное условие сводится к нахождению подмножества вершин из линейного графа. $L(G)$ из $G$которые находятся попарно на расстоянии ровно 2. Таким образом, проблема нахождения множества вершин максимального размера на расстоянии ровно 2 друг от друга является потенциальной проблемой (быть близкой к рассматриваемой проблеме). В недавней работе « Об алгоритмических аспектах сильного подкрашивания» (М.А. Шалу, С. Виджаякумар, С. Деви Ямини и Т.П. Сандхья) они называют эту проблему сильным множеством.

Известно, что проблема множества Stong является NP-полной в некоторых классах графов. Я не знаю его статус на линейных графиках двудольных графиков. В документе говорится, что он является NP-полным на двудольных графах. Наш интерес здесь будет в классе линейных графов двудольных графов.