Алгоритм вычисления расстояния между степенями

Данный взаимный $a, b$ Можете ли вы быстро вычислить

min_{x, y > 0} | a^{x} - b^{y} |

$\min_{x, y > 0} |a^x - b^y|$

Вот $x, y$ целые числа. Очевидно, принимая $x = y = 0$ дает неинтересный ответ; в общем, насколько близки эти силы? Кроме того, как мы можем быстро вычислить минимизацию $x, y$ ?

— Гаутама
источник

Вы знаете, что это даже вычислимо?

Если вы исправите

x

$x$ легко показать, что для минимизатора

y \in {⌊ x \cdot \frac{\log a}{\log b} ⌋, ⌈ x \cdot \frac{\log a}{\log b} ⌉}

$y \in \left\{ \left\lfloor x \cdot \frac{\log a}{\log b} \right\rfloor , \left\lceil x \cdot \frac{\log a}{\log b} \right\rceil \right\}$ , Это сводит его к одномерному поиску.

— Томас

Пожалуйста, не кросс-пост, или хотя бы ссылки на другие посты. mathoverflow.net/questions/283903/…

— усул

-2

Сначала я подумал, что было бы лучше использовать продолжение доли $\log(a)/\log(b)$ и проверить на его сходящихся, потому что на этих сходящихся есть точки $(x,y)$ в некотором смысле оптимального приближения. После этого становится ясно, что нужно использовать хотя бы обобщенные цепные дроби, чтобы обеспечить монотонное уменьшение расстояний.
После этого и сложный алгоритм с этим следующий алгоритм перебора был еще быстрее в Pari / GP

\\ print X,Y,d conditional X>lowboundX, Y > lowboundY, d<upperboundD
{pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d)=if(X<lbX || Y<lbY || abs(d)>ubd,return(0)); 
                  print(a,"^",X,"-",b,"^",Y,"=",d)); }


{mylist(maxa=19,maxb=99,lbX=3,lbY=2,ubd=100)=print(" ");
for(a=2,maxa,for(b=a+1,maxb,
     if(gcd(a,b)>1,next()); \\ ignore trivial multiples
     X=1;Y=1;Xa=a;Yb=b;
     d=Xa-Yb;  pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d);
     for(k=1,20, 
        while(d<0,Xa*=a;d=Xa-Yb;X++;pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d););
        while(d>0,Nb*=b;d=Xa-Yb;Y++;pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d););
        if(X>30 || Y>20, break());  \\ stop at max X=30 or Y=20 
       );
   )); }

после этого звонка, mylist(100,1000,3,3,100)чтобы найти все небольшие различия с $|d| \lt 100$ где оба показателя по крайней мере $3$ для всех баз $a=2..100$ а также $b=(a+1) .. 1000$ , Проверьте только до $\max (X)=30$ а также $\max(y)=20$ ,

Это было намного быстрее, чем подход с непрерывной дробью (который также имел более недобрые проблемы (например, с полнотой решений), с которыми трудно справиться), хотя это несколько наивный алгоритм ...

Протокол (заказывается вручную):

gettime();mylist(200,10 000,3,3,100);gettime() /1000.0 \\ ~ a*b/6000 sec
  (400 sec)

 2^8- 3^5= 13

 6^7-23^4= 95
 2^7- 3^4= 47

 2^7- 5^3=  3
 2^5- 3^3=  5
 3^4- 4^3= 17

---------------
 2^6- 3^4=-17

 3^5- 4^4=-13
 2^5- 3^4=-49

 2^8- 7^3=-87
(4^4- 7^3=-87)

 3^7-13^3=-10
 2^6- 5^3=-61
(4^3- 5^3=-61)
 2^5- 5^3=-93

 2^4- 3^3=-11
 3^4- 5^3=-44
 6^4-11^3=-35
15^4-37^3=-28

 3^3- 4^3=-37
 3^3- 5^3=-98
 5^3- 6^3=-91

— Готфрид Хелмс
источник