Является ли BPP vs. P реальной проблемой после того, как мы знаем, что BPP лежит в P / poly?

Мы знаем (на данный момент около 40 лет, спасибо Адлеману, Беннету и Джиллу), что включение BPP P / poly и еще более сильное BPP / poly P / poly имеют место. «/ Poly» означает, что мы работаем неравномерно (отдельная схема для каждой входной длины ), в то время как P без этой «/ poly» означает, что у нас есть одна машина Тьюринга для всех возможных входных длин , даже больше, чем, скажем, = количество секунд до следующего «Большого взрыва». $\subseteq$ $\subseteq$ $n$ $n$ $n$

Вопрос 1: Что нового может принести доказательство (или опровержение) BPP = P нашим знаниям после того, как мы узнаем BPP P / poly? $\subseteq$

Под «новым» я подразумеваю любые действительно удивительные последствия, такие как развал / разделение других классов сложности. Сравните это с последствиями, которые дало бы доказательство / опровержение NP P / poly. $\subseteq$

[ДОБАВЛЕНО 08.10.2017]: Одним из действительно удивительных последствий BPP P будет то, что, как показали Impagliazzo и Wigderson , все (!) Проблемы в E = DTIME будут иметь схемы размером . Спасибо Райану за отзыв об этом результате. $\not\subseteq$ $[2^{O(n)}]$ $2^{o(n)}$

Вопрос 2: Почему мы не можем доказать BPP = P по аналогии с доказательством BPP / poly $\subseteq$ P / poly?

Одно «очевидное» препятствие - проблема конечных и бесконечных областей : логические схемы работают над конечными областями, тогда как машины Тьюринга работают над всем множеством $\{0,1\}^*$ из $0$ - $1$ строк любой длины. Итак, чтобы дерандомизировать вероятностные логические схемы, достаточно взять большинство независимых копий вероятностной схемы и применить неравенство Чернова вместе с объединенной границей. Конечно, для бесконечных доменов это простое правило большинства не будет работать.

Но является ли это (бесконечная область) настоящим «препятствием»? Используя результаты статистической теории обучения (измерение VC), мы уже можем доказать, что BPP / poly $\subseteq$ P / poly выполняется также для схем, работающих над бесконечными областями, таких как арифметические схемы (работающих над всеми действительными числами); см., например, эту статью Кукера в al. При использовании аналогичного подхода все, что нам нужно, это показать, что измерение виртуальных машин для машин с множественным временем Тьюринга не может быть слишком большим. Кто-нибудь видел какие-либо попытки сделать этот последний шаг?

ПРИМЕЧАНИЕ [добавлено 07.10.2017]: В контексте дерандомизации измерение VC класса

F

$F$ функций

f : X \to Y

$f:X\to Y$ определяется как максимальное число

v

$v$ для которого существуют функции

f_{1}, \dots, f_{v}

$f_1,\ldots,f_v$ в

F

$F$ такие как что для каждого

S \subseteq {1, \dots, v}

$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$ существует точка

(x, y) \in X \times Y

$(x,y)\in X\times Y$ с

f_{i} (x) = y

$f_i(x)=y$ тогда и только тогда

i \in S

$i\in S$ . Т.е. мы разбиваем не множества точек через функции, а скорее множества функций через точки. (Два результирующих определения измерения VC связаны, но в геометрической прогрессии.)

Результаты (известные как равномерная сходимость по вероятности ) подразумевают следующее: если для каждого входа случайно выбранная функция (при некотором распределении вероятностей на ) удовлетворяет для константы , тогда можно вычислить на всех входах как большинство некоторые (фиксированный) функции из . См., Например, следствие 2 в статье Хаусслера . [Для того, чтобы это произошло, на есть несколько мягких условий измеримости .] $x\in X$ $\mathbf{f}\in F$ $F$ $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$ $c>0$ $f(x)$ $x\in X$ $m=O(v)$ $F$ $F$

Например, если - множество всех многочленов вычисляемых арифметическими схемами размера , то все многочлены в имеют степень не более . Используя известные верхние границы для числа нулевых моделей многочленов (см., Например, эту статью ), можно показать, что размерность VC для равна . Это подразумевает включение BPP / poly P / poly для арифметических схем. $F$ $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ $\leq s$ $F$ $D=2^s$ $F$ $O(n\log D)=O(ns)$ $\subseteq$

— Стасис
источник

Относительно Q1: опровержение показало бы удивительно маленькие схемы для каждой задачи, решаемой за 2 ^ (O (n)) времени, по Импальаззо-Вигдерсону (как вы, вероятно, знаете?)

— Райан Уильямс

Я смущен Q2. Кажется очевидным, что размерность VC многовременного ТМ бесконечна. Т.е. для любого конечного множества и любого существует полиномиальных по ТМ , который принимает элементы и отклоняет элементы . Ключевым моментом является то, что конечно, поэтому ограничение по времени не имеет значения.

X \subseteq {0, 1}^{*}

$X \subseteq \{0,1\}^*$

S \subseteq X

$S \subseteq X$

S

$S$

X ∖ S

$X \setminus S$

X

$X$

— Сашо Николов

Что касается Q2, то включение не имеет ничего общего с классом сложности и вычислительной мощью. Я думаю, что речь идет о количестве случайных битов и количестве советов, поэтому я не думаю, что оно дает нам какую-либо информацию о природе эффективных вычислений.

— Каве

@Kaveh: намек на «количество случайных битов и количество советов» стоит подумать! Но, на мой взгляд (непрофессионала), даже в таких вопросах, как P против NP, мы на самом деле не заботимся о «явной» конструкции (унифицированной) ТМ. Такие вопросы задают только о существовании эффективных алгоритмов. Конечно, конструкция является «без сомнения» доказательством существования. Но могут быть и менее прямые доказательства. Таким образом, все сводится к тому, чтобы «существование для каждого » показать «существование для всех ». То есть для .

n

$n$

n

$n$

\forall \exists

$\forall\exists$

\exists \forall

$\exists\forall$

— Стасис

Даже если вы исправите время работы, VC-дим будет бесконечным. Что вы можете надеяться сделать, так это ограничить VC-dim времени ограниченного TM, работающего на входном размере . Но если вы подумаете об этом аргументе, вам придется взять большинство потенциально разных TM для каждого : неоднородности.

T

$T$

n

$n$

n

$n$

— Сашо Николов

Не уверен, какой это ответ, я просто потворствую некоторым размышлениям.

Вопрос 1 может быть в равной степени задан относительно P NP и с аналогичным ответом - методы / идеи, использованные для доказательства результата, были бы большим прорывом в большей степени, чем сам вывод. $\neq$

На вопрос 2 я хочу поделиться некоторыми соображениями. Насколько я знаю, почти все техники и идеи, которые у нас есть для BPP = P, проходят через «дерандомизацию»: учитывая любую вероятностную машину Тьюринга с полимитами, создайте PRG, чтобы передать ей кучу детерминистически выбранных битов вместо случайных такие, что его поведение очень похоже на его поведение на действительно случайных битах. Таким образом, при достаточно хороших псевдослучайных генераторах мы получаем BPP = P. («Мир BPP = P» Голдрайха свидетельствует о том, что любое доказательство BPP = P должно соответствовать этому.)

Это в значительной степени похоже на BPP P / poly, за исключением того, что PRG - это строка рекомендаций, которая создается магией. Возможно, лучший ответ на ваш вопрос 2 заключается в том, что в P у нас нет магии, и мы должны сами придумать строку с рекомендациями. Дерандомизация также является идеей, лежащей в основе результата SL = L 2004 года, с использованием таких инструментов, как графы расширителей. $\subseteq$

Теперь рассмотрим, что такое доказательство будет означать только для одного конкретного алгоритма, критерия примитивности Миллера-Рабина. Это показало бы существование некоторого детерминированного генератора, который выбирает последовательность целых чисел для подачи в тест первичности Миллера-Рабина, такой, что, если и только если все целые числа прошли, то исходное число было простым.

Насколько я понимаю (хотя я не эксперт), вопрос о том, существует ли такой список и насколько маленькими могут быть числа в нем (в частности, если достаточно проверить все числа ниже некоторой границы), представляется довольно глубоким вопросом в теория чисел и тесно связана с доказательством форм обобщенной гипотезы Римана. Смотрите этот вопрос . Я не думаю, что здесь есть формальное значение, но это не похоже на то, что мы ожидаем получить на следующей неделе в качестве случайного миниатюрного следствия гораздо более общей конструкции PRG.

— усул
источник

Интересные мысли! В статье Одеда высказывается предположение, что второй квартал действительно сводится к «существованию или строительству» PRG. При дерандомизации через измерение VC алгоритмические аспекты полностью игнорируются.

— Стасис

Спасибо всем (Каве, Рики, Райан, Сашо и "Усул"): я многому научился из ваших комментариев. «Однородность» никогда не была проблемой в моей жизни, отсюда и наивность моих вопросов. Я принимаю ответ "усул". В дополнение к очень интересным замечаниям Каве, Рики, Райана и Сашо, это отвечает на оба моих вопроса.

— Стасис