Исчисление конструкций: сжать выражение до его наименьшей формы

Я знаю, что исчисление конструкций сильно нормализуется, то есть у каждого выражения есть норма, которая не может быть бета, далее сокращена. Так что на самом деле это наиболее эффективное выражение, которое вычисляет то же значение, что и исходное выражение.

Но в некоторых случаях нормализация может уменьшить маленькое выражение до огромного (с точки зрения размера).

Есть ли наименьшая форма выражений? Форма, которая вычисляет то же значение с наименьшим размером.

Другими словами, вместо эффективной по времени нормальной формы, эффективной по пространству.

В том, что мы считаем "той же ценностью", есть немного свободы. Позвольте мне показать, что такого алгоритма не существует, если «одно и то же значение» означает «обсервационно эквивалентный». Я буду использовать фрагмент Исчисления конструкций, а именно Систему Геделя T (просто напечатанный исчисление, натуральные числа и примитивная рекурсия на них), поэтому аргумент уже применяется к гораздо более слабому исчислению.$\lambda$

Принимая во внимание число , пусть ¯ п соответствующая цифра , представляющая ее, то есть п применения с у с гр до 0 . Для данного тьюрингова махина M пусть ⌈ M ⌉ будет числовым кодированием M некоторым разумным образом.$n$$\overline{n}$$n$$\mathtt{succ}$$0$$M$$\lceil M \rceil$$M$

Скажем , что две замкнутые условия будут эквивалентны , написаны т ≃ U , когда для всех п ∈ N , $t, u : \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$$t \simeq u$$n \in \mathbb{N}$ и$t \, \overline{n}$ и нормализуют к однойтой же цифры (они нормализуют к цифрепотому что мы находимся в сильно нормализующее claculus).$s \, \overline{n}$

Предположим, у нас был алгоритм, который для любого замкнутого члена типа вычисляет минимальный эквивалентный член. Тогда мы можем решить оракула Halting следующим образом.$\mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$

Существует термин такое , что для всех п ∈ N и все машины Тьюринга M , S ( ⌈ М ⌉ , ¯ п ) нормализует чтобы ¯ 1 , если Т останавливается в пределах п шагов и нормализует в ¯ 0 в противном случае. Это хорошо известно, поскольку моделирование машины Тьюринга для фиксированного числа шагов n является примитивно рекурсивным.$S : \mathtt{nat} \times \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$$n \in \mathbb{N}$$M$$S (\lceil M \rceil, \overline{n})$$\overline{1}$$T$$n$$\overline{0}$$n$

Существует конечное число замкнутых слагаемых которые являются минимальными слагаемыми, эквивалентными λ x : n a t$Z_1, \ldots, Z_k$ . Наш алгоритм минимизации возвращает один из них, когда мы даем ему λ x : n a t$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ , и это может даже быть случай, когда λ x : n a t$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ на самом деле единственный такой минимальный термин. Все это не имеет значения, единственное, что имеет значение, - это то, что существует конечное число минимальных членов, эквивалентных λ x : n a t$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ .$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

Теперь для любой машины рассмотрим член u : = λ x : n a t$M$ Если М пробегает навсегдато у ¯ п нормализует к ¯ 0 для каждого п и эквивалентно λ х : п т

$$u \mathbin{{:}{=}} \lambda x : \mathtt{nat} .\, S (\lceil M \rceil, x)$$ $M$$u \overline{n}$$\overline{0}$$n$ . Чтобы решить, будет ли M работать вечно, мывводим u в наш алгоритм минимизации и проверяем, вернул ли алгоритм один из Z 1 , … , Z k . Если это так, то М работает вечно. Если это не так, то он останавливается. (Примечание: алгоритм не должен вычислять Z 1 , … , Z k сам по себе, они могут быть жестко запрограммированы в алгоритме.)$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$$M$$u$$Z_1, \ldots, Z_k$$M$$Z_1, \ldots, Z_k$

Было бы хорошо узнать аргумент, который работает с более слабым понятием эквивалентности, например, просто сводимость.$\beta$

Как сказал Андрей, проблема неразрешима, если вы разрешите заменять один термин другим, экстенсивно равным. Тем не менее, вы можете быть заинтересованы в оптимальном обмене выражений, в следующем смысле: с учетом сокращения , ясно , что вхождения термина у могут быть совместно в памяти , и каждое сокращение, примененное к одному, может быть применено к другому.

$$(\lambda x:T.C\ x\ x)\ u\rightarrow_\beta C\ u\ u$$ $u$

В этом смысле известно, как оптимальным образом сократить нетипизированные термины, максимально сокращая совместное использование. Это объясняется здесь: /programming//a/41737550/2059388, и соответствующая цитата Дж. Лампинга Алгоритм оптимального сокращения лямбда-исчисления . Нет сомнений, что теорема для нетипизированного исчисления может быть распространена на CIC.

Другим важным вопросом является количество информации о типах, которое может быть стерто при выполнении преобразования типов, или, действительно, как выполнить эффективное преобразование, которое является активной областью исследований, см., Например , тезис Мишры-Лингера .

Позвольте мне настаивать на точке зрения, затронутой ответом Коди.

Насколько нам известно, вопрос о нахождении наименьшей термы, эквивалентной другой λ- терме, не очень интересен, даже если бы существовал алгоритм, вычисляющий его. Фактически, большинство программ, которые вы пишете в λ- калькуляторе (или в любом исчислении λ- куба), уже находятся в нормальной форме или, по крайней мере, имеют нормальную форму головы, поэтому они уже достигли своего «наименьшего» значения в том смысле, который вы описали. Кроме того, быть «маленьким» не значит быть более эффективным, как обсуждалось в этом вопросе .$\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$

$M$$f$

$$M\,\overline{x}\to^{l(|x|)}\overline{f(x)}$$ $l(|x|)$$l(n)=O(n^k)$$k$$f$

$\lambda$$\Theta(n)$$\Theta(2^n)$$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$

Этот же синтаксис может использоваться для доказательства того, что, в отличие от наивной интуиции, ответ на поставленный выше вопрос - да, действительно: число крайних левых шагов к нормальной форме является разумной мерой стоимости, даже если размер увеличивается, потому что на самом деле существует другой способ представления того же вычисления (с использованием линейных явных подстановок), в котором:

1. размер не взрывается;
2. $\lambda$

Это все объясняется в статье Аккаттоли и Дала Лаго «Бета-сокращение действительно инвариантно» (LICS 2014, и тогда я думаю, что есть более свежая версия журнала).

$\lambda$