Имеет ли ?

Я ожидаю, что ответ будет отрицательным, но я не смог построить контрпример. Разница в том, что в мы не сможем выбрать алгоритм равномерно в .O ( n 2 + ε ) $∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$O(n^{2+ε})$$ε$

Под ласточкин хвост аргумента (например, см этот вопрос ), если существует се множество машин Тьюринга решении языка таким образом, что , то является в . L ∀ ε > 0 ∃ M i ∈ O ( n 2 + ε ) L D T I M E ( n 2 + o ( 1 )$M_i$$L$$∀ε>0 ∃M_i ∈ O(n^{2+ε})$$L$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Для данной машины Тьюринга, независимо от того, работает ли машина во время , . Находится ли язык (учитывая код для машины, распознающей его) в : (и -hard); находится ли язык в является . Если мы сможем доказать полноту (или просто -твердость) , это решит проблему, но я не уверен, как это сделать тот.Π 0 3 Д Т Я М Е ( п 2 + O ( 1 ) ) Σ 0 4 Π 0 3 ∩ & epsi ; > 0 Д Т Я М Е ( О ( п 2 + & epsi ; ) ) Π 0 3 Σ 0 4 Σ 0 3 D T I $n^{2+o(1)}$$Π^0_3$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$$Σ^0_4$$Π^0_3$$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$Π^0_3$$Σ^0_4$$Σ^0_3$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Эта проблема также будет решена, если мы найдем последовательность языков такую, что * имеет естественный алгоритм решения (равномерно по ). * Каждый конечен. * Мало того, что размер неразрешим, но алгоритм не может исключить намного быстрее, чем (для худшего случая ), за исключением конечного числа (в зависимости от алгоритм).L i O ( n 2 + 1 / i ) i L i L i w ∈ L i O ( n 2 + 1 / i ) w $L_i$
$L_i$$O(n^{2+1/i})$$i$
$L_i$
$L_i$$w∈L_i$$O(n^{2+1/i})$$w$$i$

Мне также любопытно, есть ли какие-нибудь заметные / интересные примеры (для или аналогичное соотношение).$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε})) \setminus \mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Вот контрпример, то есть язык с алгоритмом (с использованием многолинейных машин Тьюринга) для каждого , но не равномерно по : принять если и я машина Тьюринга останавливается менее чем за шагов на пустом входе. Другие строки отклоняются.ε > 0 ε 0 k 1 m k > 0 k m 2 + 1 /$O(n^{2+ε})$$ε>0$$ε$
$0^k 1^m$$k>0$$k$$m^{2+1/k}$

Для каждого мы получаем алгоритм жестко кодируя все достаточно малые небрежные машины и моделируя остальное. O ( n 2 + ε$ε$$O(n^{2+ε})$

Теперь рассмотрим машину Тьюринга решающую язык.$M$

Пусть (на пустом входе) будет эффективной реализацией следующего: для в 1,2,4,8, ...:      используйте чтобы решить, останавливается ли в шаги.      остановка, если говорит, что мы не останавливаемся, но мы все еще можем остановиться с шагом .$M'$
$n$
$M$$M'$$<n^{2+1/M'}$
$M$$<n^{2+1/M'}$

По правильности , не останавливается, но М принимает Ом ( п 2 + 1 / М ' ) -steps на входе 0 М ' 1 п - М ' для бесконечно многих п . (Если М слишком быстро, то М ' будет противоречить М . В Ом ( п 2 + 1 / М ' ) связан зависит от М ' моделирования$M$$M'$$M$$Ω(n^{2+1/M'})$$0^{M'} 1^{n-M'}$$n$$M$$M'$$M$$Ω(n^{2+1/M'})$$M'$ за линейное время и в противном случае быть эффективным.)$M$