При каких обстоятельствах

Предположим, что для каждого $\epsilon > 0$ существует машина Тьюринга $M_{\epsilon}$ которая определяет язык $L$ во времени $O(n^{a + \epsilon})$ . Существует ли единственный алгоритм, определяющий $L$ во времени $O(n^{a + o(1)})$ ? (Здесь член $o(1)$ измеряется через $n$ , длину ввода.)

Имеет ли значение, если алгоритмы $M_{\epsilon}$ вычислимы или эффективно вычисляются в терминах $\epsilon$ ?

Мотивация: во многих доказательствах легче построить алгоритмы времени $O(n^{a + \epsilon})$ чем ограничивающий алгоритм $O(n^{a + o(1)})$ . В частности, вам нужно ограничить постоянный член в $O(n^{a + \epsilon})$ чтобы перейти к пределу $O(n^{a+o(1)})$ . Было бы неплохо, если бы был какой-то общий результат, который вы можете вызвать, чтобы перейти к пределу напрямую.

Вопрос аналогичен вопросам о конструктивном существовании предела последовательности (конструктивных) объектов. Обычно, если вы можете достаточно равномерно построить эти объекты (здесь ), тогда вы можете показать существование предела конструктивно.$M\epsilon$

Например, предположим, что у нас есть TM который выполняет M | к | - 1 на x и его время выполнения равно O ( n a + | k | - 1 ) + O ( | k | ) (здесь границы также равномерны, например, что-то типа O ( 2 k . N a + | k | - 1$N(k,x)$$M_{|k|^{-1}}$$x$$O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$$O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$не будет работать). Затем мы можем объединить этот равномерный симулятор с функцией чтобы получить машину N ( x , x ), которая работает за время O ( n a + o ( 1 ) ) .$(k,x)\mapsto x$$N(x,x)$$O(n^{a+o(1)})$

PS: немного неоднозначно из-за вложенности асимптотических обозначений, я интерпретирую это как n a + o ( 1 ) . Кроме того, мы должны быть не слишком маленьким, например , по меньшей мере , 1 .$O(n^{a+o(1)})$$n^{a+o(1)}$$a$$1$

Вы можете использовать универсальный алгоритм поиска Левина. Предположим, что вы можете каким-то образом перечислить последовательность алгоритмов решающих L , каждый из которых выполняется за время C k n a + 1 / k . Алгоритм работает Левина в время Т ( п ) ≤ D к п + 1 / к для каждых к , где Д к является константой , зависящей от С к . Таким образом, для каждого k , τ ( n ) $A_k$$L$$C_k n^{a+1/k}$$T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$$k$$D_k$$C_k$$k$ Дляϵ>0выберитеk=⌈2/ϵ⌉и пустьN=⌈D 2 / ϵ k ⌉. Тогда приn≥N,τ(n)≤ϵ. Поэтомуτ(n)→0, и мы получаем, что алгоритм Левина работает за времяna+τ(n)=na

$$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$$ $\epsilon>0$$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$$n \geq N$$\tau(n) \leq \epsilon$$\tau(n) \rightarrow 0$ .$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$