Имеет ли теория первого порядка конечной структуры ограниченный ранг кванторов?

Пусть - любая конечная структура. Имеет ли его теории первого порядка имеют ограниченную кванторное ранг, в том смысле , что существует такое , что для всех с существует с и ? $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$ $q\in\mathbb{N}$ $\varphi\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi) > q$ $\varphi'\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi')\leq q$ $\varphi'\equiv\varphi$

co.combinatorics lo.logic relational-structures

— Д. Русин
источник

Разве это не вопрос к Mathoverflow, а не к теории CS?

— Андрей Бауэр

@ Андрей, теория конечных моделей и описательная сложность также считаются частью TCS.

— Каве

Отлично, так как однажды сказал Боб Харпер: математика - это особый случай информатики.

— Андрей Бауэр

Информатика также является частным случаем математики, и они также являются частными случаями логики, и наоборот.

— Февраль

Ответы:

Теория любой конечной структуры полна модели. На самом деле, легко увидеть, что любая формула эквивалентна экзистенциальной формуле с одним квантификатором на каждый элемент структуры, после чего все квантификаторы исходной формулы могут быть смоделированы с помощью конъюнкций и дизъюнкций. В частности, количество квантификаторов (следовательно, ранг квантификаторов) ограничено размером структуры.

— Эмиль Йержабек
источник

На самом деле нужен еще один универсальный квантификатор, который позволяет выразить отсутствие дополнительных элементов. Во всех ответах есть одно предположение, которое следует сделать явным: наличие равенства, т. Е. То, что x = y является допустимой атомарной формулой.

— Томас С

Дополнительный квантификатор не требуется. Помните, что мы не пытаемся аксиоматизировать теорию структуры, но найти формулу, эквивалентную данной по модулю теории. А наличие равенства является универсальным стандартом для классической логики первого порядка. Его отсутствие должно быть указано.

— Эмиль Йержабек

Ах. Вы правы. "Теория Модуло". Относительно равенства: поскольку мы пытаемся объяснить простые вещи людям, не относящимся к Logic, не помешает сделать структуру явной. Еще одно замечание: замена квантификаторов на конъюнкции и дизъюнкции вполне хороша. Однако есть альтернативы: поскольку формула с, скажем, m свободными переменными определяет m-арное отношение A, новая формула, после угадывания всех элементов и проверки, что есть что (по модулю автоморфизмов), также явно «перечисляет» все кортежи, для которых старая формула дает «истина».

— Томас С

Чтобы сделать то, что сказал Эмиль, немного конкретнее: рассмотрим формулу, выражающую существование k различных объектов. Это показывает, что нам нужно неограниченное количество квантификаторов.

Теперь у вас есть формула с q кванторами, и в вашей модели есть k объектов. Вы можете выразить формулу, заявив, что существует k различных объектов, и связь между ними может быть выражена в виде CNF.

— Кава
источник