Линейное программирование, конечно, в настоящее время очень хорошо понято. У нас много работы, которая характеризует структуру возможных решений и структуру оптимальных решений. У нас сильная двойственность, многовременные алгоритмы и т. Д.
Но что известно о минимальных максимальных решениях ЛП? Или, что эквивалентно, максимальные минимальные решения?
(Это на самом деле не вопрос исследования, но, возможно, у нас может быть что-то менее техническое к праздникам. Мне просто любопытно, и после некоторого поиска в Google у меня возникло ощущение, что я, должно быть, упускаю правильные ключевые слова. Это похоже на очевидное проблема для изучения, но я нашел только некоторые спорадические документы, в которых упоминается проблема.)
Для простоты давайте сосредоточимся на упаковке и покрытии пластинок . В упаковке LP задана неотрицательная матрица . Вектор х это осуществимо , если х ≥ 0 и х ≤ 1 . Мы говорим, что x является максимальным, если это возможно, и мы не можем жадно увеличивать любой компонент. То есть, если y ≥ 0 и y ≠ 0 , то x + y неосуществимо. И, наконец, х являетсяминимальное максимальное решение, если оно минимизирует целевую функцию среди всех максимальных решений.
(Вы можете определить максимальное минимальное решение накрывающей LP аналогичным образом.)
Как выглядит пространство минимальных максимальных решений? Как мы можем найти такие решения? Насколько сложно найти такие решения? Как мы можем приблизить такие решения? Кто изучает такие вещи, и каков правильный термин для этого?
Эти вопросы были первоначально мотивированы наборами доминирующих ребер и минимальными максимальными соответствиями . Хорошо известно (и довольно легко увидеть), что минимальное максимальное совпадение является минимальным доминирующим ребром; и наоборот, учитывая минимальное множество, доминирующее над ребром, легко построить минимальное максимальное соответствие.
Так что, по сути, это одна и та же проблема. Обе проблемы являются NP-сложными и APX-сложными. Существует тривиальный алгоритм 2-приближения: любое максимальное совпадение.
Однако их "естественные" релаксации LP выглядят совсем по-другому. Если вы берете задачу о множестве доминирующих краев и формируете естественную релаксацию ЛП, вы получаете покрытие ЛП. Однако, если вы возьмете задачу найти минимальное максимальное соответствие и попытаетесь найти LP-релаксацию, то что вы получите? Ну, конечно, дробные совпадения являются возможными решениями упаковки LP; тогда максимальные дробные соответствия являются максимальными решениями таких ЛП, а минимальные максимальные дробные соответствия являются минимальными максимальными решениями таких ЛП. :)