Минимальные максимальные решения ЛП

12

Линейное программирование, конечно, в настоящее время очень хорошо понято. У нас много работы, которая характеризует структуру возможных решений и структуру оптимальных решений. У нас сильная двойственность, многовременные алгоритмы и т. Д.

Но что известно о минимальных максимальных решениях ЛП? Или, что эквивалентно, максимальные минимальные решения?

(Это на самом деле не вопрос исследования, но, возможно, у нас может быть что-то менее техническое к праздникам. Мне просто любопытно, и после некоторого поиска в Google у меня возникло ощущение, что я, должно быть, упускаю правильные ключевые слова. Это похоже на очевидное проблема для изучения, но я нашел только некоторые спорадические документы, в которых упоминается проблема.)

Для простоты давайте сосредоточимся на упаковке и покрытии пластинок . В упаковке LP задана неотрицательная матрица . Вектор это осуществимо , если и . Мы говорим, что является максимальным, если это возможно, и мы не можем жадно увеличивать любой компонент. То есть, если и , то неосуществимо. И, наконец, является $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ минимальное максимальное решение, если оно минимизирует целевую функцию среди всех максимальных решений. $\sum_i x_i$

(Вы можете определить максимальное минимальное решение накрывающей LP аналогичным образом.)

Как выглядит пространство минимальных максимальных решений? Как мы можем найти такие решения? Насколько сложно найти такие решения? Как мы можем приблизить такие решения? Кто изучает такие вещи, и каков правильный термин для этого?

Эти вопросы были первоначально мотивированы наборами доминирующих ребер и минимальными максимальными соответствиями . Хорошо известно (и довольно легко увидеть), что минимальное максимальное совпадение является минимальным доминирующим ребром; и наоборот, учитывая минимальное множество, доминирующее над ребром, легко построить минимальное максимальное соответствие.

Так что, по сути, это одна и та же проблема. Обе проблемы являются NP-сложными и APX-сложными. Существует тривиальный алгоритм 2-приближения: любое максимальное совпадение.

Однако их "естественные" релаксации LP выглядят совсем по-другому. Если вы берете задачу о множестве доминирующих краев и формируете естественную релаксацию ЛП, вы получаете покрытие ЛП. Однако, если вы возьмете задачу найти минимальное максимальное соответствие и попытаетесь найти LP-релаксацию, то что вы получите? Ну, конечно, дробные совпадения являются возможными решениями упаковки LP; тогда максимальные дробные соответствия являются максимальными решениями таких ЛП, а минимальные максимальные дробные соответствия являются минимальными максимальными решениями таких ЛП. :)

— Юкка Суомела
источник

3

Ваше определение максимума как «мы не можем жадно увеличивать любой компонент» очень похоже на равновесие Нэша. Есть ли здесь скрытая связь с теорией игр?

— Деррик Столи

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

Вы знакомы с линейными программами с узкими местами , в которых минимаксный аспект находится в целевой функции?

— Майк Спиви

11

Максимальность и минимальность: это разновидности оптимальности по Парето.
Сложность: я думаю, что найти минимальное максимальное решение NP-трудно. Я бы уменьшил проблему доминирования независимости (иначе говоря, проблему минимального максимального независимого множества) в двудольных графах. Эта проблема (точнее, ее вариант решения), как известно, является NP-полной (Д. Г. Корнейл и Ю. Перл, Кластеризация и доминирование в совершенных графах. Дискретная прикладная математика 9 (1984) 27-39). Поскольку двудольный граф является совершенным, его многогранник с независимым множеством определяется неравенствами клик, а число клик в двудольном графе является полиномиальным. Следовательно, мы можем явно записать систему линейных неравенств Ax <= 1, x> = 0 для многогранника независимого множества. Экстремальные решения соответствуют независимым множествам, а экстремальные максимальные решения соответствуют максимальным независимым множествам.

— Ёсио Окамото
источник

2

$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

К сожалению, мне было трудно найти прозрачное объяснение этого материала, но я ни в коем случае не эксперт по многогранникам. Надеюсь, вы найдете это актуальным для решения проблемы.

— Эндрю Д. Кинг
источник