Временные иерархии в DSPACE (O (s (n)))

Теорема иерархии времени утверждает, что машины Тьюринга могут решить больше проблем, если у них есть (достаточно) больше времени. Имеет ли это какое-то значение, если пространство ограничено асимптотически? Как $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ относится к $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ если $\frac{f}{g}$ растет достаточно быстро?

Меня особенно интересует случай, когда $s(n) = n$ , $g(n) = n^3$ и $f(n) = 2^n$ .

В частности, я считал следующий язык: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

Однако $L_k$ может быть определено за $n^3$ шагов с использованием $(k+1)n \in O(n)$ пространства.

Не ограничивая $M$ четырьмя символами ленты и, таким образом, позволяя сжать $O(n)$ ячеек в $n$ ячеек, мы получаем проблемы с пространством при моделировании $M$ со слишком большим количеством символов на ленте. В этом случае язык больше не находится в $\text{DSPACE}(O(n))$ . То же самое происходит при установке $k = h(|w|)$ для некоторого $h$ который может быть вычислен достаточно быстро.

Этот вопрос в основном перефразирует мой вопрос здесь .

Редактировать резюме: Изменено $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ на $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$ , однако, я думаю, что пересечение также стоит подумать.

— Henning
источник

Офигенный вопрос !! Также довольно интересно посмотреть на DTISP (g (n), s (n)) против DTISP (f (n), s (n)), если

растет достаточно быстро. DTISP (g (n), s (n)) представляет языки, которые могут быть решены одним алгоритмом, который выполняется не более g (n) времени с использованием пространства s (n), в то время как DTIME (g (n))

DSPACE (s) (n)) представляет языки с двумя алгоритмами, где один алгоритм выполняется за время g (n), а другой алгоритм выполняется в пространстве s (n).

\frac{f}{g}

$\frac{f}{g}$

\cap

$\cap$

— Майкл Вехар

Ой ... Сначала я написал D-SPACE (O (s (n))) - TIME (g (n)), но мне не понравился внешний вид MathJax, поэтому я быстро изменил его в DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)), не задумываясь об этом. Мой первоначальный вопрос о том, что я написал первым, но пересечение DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)) также очень интересно - я рад, что сделал эту ошибку. Очевидно, что DTISP (g (n), s (n)) ⊆ DTIME (g (n)) ∩ DSPACE (s (n)). Это правильное включение? Согласно википедии, ее правильность неизвестна для DTISP (P, PolyL), DTIME (P), DSPACE (PolyL): wikiwand.com/en/SC_(complexity)

— Хеннинг,

Здорово!! Благодарим Вас за разъяснения. Я действительно заинтересован в подобных проблемах. :)

— Майкл Вехар

D T I S P (2^{n}, n) = D S P A C E (n)

$DTISP(2^n,n)=DSPACE(n)$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

$\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$ $\mathrm{NSPACE}(O(n))$ $\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

Однако при вероятных предположениях о сложности вычислений существует надлежащая иерархия. Например, если для каждого CIRCUIT-SAT ∉ io- , то где , равно , а - пространственно-временная конструкция. $ε>0$ $O(2^{n-ε})$ $\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$ $f(n)$ $2^{o(\min(n,s(n)))}$ $f$

В частности (в предположении), существование удовлетворяющего назначения для схем с входы и размер служит как контрпример к равенству классов. $⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$ $(\log f)^{O(1)}$

Примечания:

CIRCUIT-SAT, по крайней мере, такой же твердый, как -SAT (который используется в гипотезе сильного экспоненциального времени). $k$
В соответствии с соглашением, в CIRCUIT-SAT, - количество входных проводов; размер схемы . $n$ $n^{O(1)}$
Если предположение использовало CIRCUIT-SAT для размеров квазилинейных цепей, то ограничение на может быть ослаблено до . Кроме того, более слабые / более сильные предположения о твердости CIRCUIT-SAT дают более слабые / более сильные иерархии (что мы можем доказать в настоящее время). $f(n)$ $O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$
io означает бесконечно часто, и может быть отброшено для , которые в определенном смысле непрерывны (включая ). $f$ $f(n)=n^a$
Вероятно, что иерархия DTISP достаточно резкая, чтобы отличить от (и, возможно, ) (когда не слишком велико относительно разрешенного пространства). $O(f)$ $o(f/\log f)$ $o(f)$ $f$
Чтобы отличить от , нам нужно только более слабое предположение P ≠ PSPACE. $n^a$ $2^n$

— Дмитрий Тарановский
источник