Квадратичная связь между недетерминированным и детерминированным пространством?

Теорема Савича показывает, что для всех достаточно больших функций , и доказательство того, что это тесно, является открытой проблемой на протяжении десятилетий ,$\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$

Предположим, мы подходим к проблеме с другого конца. Для простоты предположим булев алфавит. Объем пространства, используемого ТМ для выбора вычислимого языка, часто тесно связан с логарифмом числа состояний, используемых автоматом, моделирующим ТМ, для каждого регулярного фрагмента языка. Это мотивирует следующий вопрос.

Пусть - количество синтаксически различных DFA с состояниями, а - количество различных NFA с состояниями. Нетрудно показать, что близко к .$D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

Кроме того, пусть будет числом различных регулярных языков, которые могут быть распознаны DFA с состояниями, и пусть будет числом, распознанным NFA.$D_n'$$n$$N_n'$

Известно ли, что близко к ?$\lg N_n'$$(\lg D_n')^2$

Мне не ясно, как и , или и , связаны друг с другом или насколько тесно. Если все это относится к общеизвестному вопросу в теории автоматов, то будет полезен намек или указатель. Этот же вопрос актуален и для двусторонних автоматов по той же причине, и я особенно заинтересован в этой версии.$D_n$$D_n'$$N_n$$N_n'$

В моей статье с Домарацки и Кисманом «О количестве различных языков, принимаемых конечными автоматами с n состояниями», опубликованной в J. Automata, Languages ​​and Combinatorics 7 (2002), мы доказали, что если есть число отдельные языки, принятые NFA с n состояниями в алфавите k- буквы, и g k ( n ) аналогично числу различных языков, принятых DFA, тогда для фиксированных k ≥ $G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i) асимптотически с точностью до порядка меньшего порядка k n log $\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii) , с точностью до членов меньшего порядка, асимптотически между ( k - 1 ) n 2 и k n 2 .$\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$