Расширения теоремы Рамсея: одноцветные, но разнообразные

В качестве продолжения моего предыдущего вопроса , который был разрешен Сянь-Чжи Чангом, приведу еще одну попытку найти соответствующее обобщение теоремы Рамсея. (Вам не нужно читать предыдущий вопрос; этот пост является самостоятельным.)

Параметры: целые числа $1 \ll d \ll k \ll n$ даны, а затем $N$выбран достаточно большим. Терминология:$m$-подмножество является подмножеством размера $m$,

Позволять $B = \{1,2,...,N\}$, Для каждого$k$-подмножество $S \subset B$назначьте цвет $f(S) \in \{0,1\}$,

Определения:

• $X \subset B$является монохроматическим, если$f(S) = f(S')$ для всех $k$-подмножеств $S \subset X$ а также $S' \subset X$,
• $X \subset B$это разнообразно , если$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ такой, что $x_i < x_{i+1}$ а также $x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$для всех .$i$

Например, если , то разнообразны, а - нет. Обратите внимание, что подмножество разнообразного набора не обязательно разнообразно.$d = 10$$\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$$\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$

Теперь теорема Рэмси говорит , что независимо от того , как мы выбираем , есть монохромные -подмножество . И , очевидно , это тривиально , чтобы найти разнообразный -подмножество .$f$$n$$X \subset B$$n$$X \subset B$

Вопрос: есть ли всегда разнообразны и монохромные -подмножества ?$n$$X \subset B$

Изменить: Сянь-Чи Чанг показывает, что утверждение является ложным для простого , но как насчет составного ? В моих приложениях у меня будет большая свобода выбора точных значений , если я могу сделать их произвольно большими. Они могут быть степенями простых чисел, произведений простых чисел или чего-либо еще, что необходимо для того, чтобы сделать утверждение верным.$d$$d$$d \ll k \ll n$

Сначала я должен сказать: эта проблема действительно интересна! И здесь я кратко опишу, почему мои предыдущие подходы потерпели неудачу, как было предложено в этом мета-посте о неправильных ответах.

• Моя первая попытка была попытаться построить раскраску, связанную с суммой k-подмножества, которая делает все n-подмножества немонохроматическими. Лемма 1 все еще доступна; но лемма 2 была неверной, поскольку мы наблюдали, что если k и d связаны между собой простыми является n-подмножество в модуле d, предложенное @Jukka.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• Вторая попытка была доказательством теоремы; подсчитывая соотношение разнообразных и монохроматических -подмножеств, мы надеемся, что число монохроматических превзойдет число разнородных. Но в моих вычислениях есть ошибка, наблюдаемая @domotorp: соотношение не-разности не приближается к нулю; оно сходится примерно к , что явно больше, чем .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• Третий возвращается к первому методу и показывает, что для сверхслабого набора параметров ( и ) теорема неверна. Мы использовали известную лемму в аддитивной комбинаторике: теорема EGZ.$n > k+d-1$$d \mid k$

Четвертая попытка связана с ответом @domotorp; это одновременно и умно, и вдохновляюще, и я постараюсь изменить его доказательство, чтобы оно соответствовало всем параметрам. Но все же его метод элегантен, и я полностью ценю этот простой подход.

Разнообразный n-набор содержит по меньшей мере одно k-подмножество с по меньшей мере «переключениями между классами модов»; точно, пусть - разнообразное n-множество, и пусть , переключатель определен, если и находятся в разных мод-д классы. У нас есть k-1 переключатели для .$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

Пусть k-подмножество будет красным, если имеет не более k-2 переключателей; в противном случае это синий . По предыдущему абзацу мы уже имели синий, теперь доказано , что при , есть красный в любом п-множество . Так как , есть два числа в одном классе mod-d и ; и поскольку , в есть по меньшей мере k-2 элементов с или . И мы можем построить k-подмножество с$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$рядом с , который переключается только не более k-2 раз. Таким образом, является красным k-подмножеством.$x_j$$S$

Возможно, я неправильно понял ваш вопрос, но если нет, я думаю, что это неверно. Окрасьте k-множества, все члены которых совпадают по модулю d, красным, остальные k-множества синим. Если n> kd, то любой n-набор должен содержать k-набор, все члены которого являются конгруэнтными по модулю d и, следовательно, красным. С другой стороны, если k-множество содержит два последовательных элемента разнородного n-множества, то оно синего цвета.