Примерная выборка из выпуклых многогранников с квантовыми компьютерами

Квантовые компьютеры очень хороши для выборочных распределений, которые мы не знаем, как делать выборки с использованием классических компьютеров. Например, если f - булева функция (от до - 1 , 1 ), которая может быть вычислена за полиномиальное время, то с квантовыми компьютерами мы можем эффективно произвести выборку в соответствии с распределением, описываемым разложением Фурье функции f. (Мы не знаем, как это сделать с классическими компьютерами.)$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

Можем ли мы использовать квантовые компьютеры для выборки или приближенной выборки случайной точки в многограннике, описываемой системой из n неравенств по d переменным?

Переход от неравенств к точкам мне кажется чем-то похожим на «преобразование». Более того, я был бы рад увидеть квантовый алгоритм, даже если вы измените распределение, например, рассмотрите произведение гауссовского распределения, описываемого гиперплоскостями многогранника или некоторыми другими вещами.

Несколько замечаний: Дайер, Фриз и Каннан нашли знаменитый классический алгоритм полиномиального времени, позволяющий приблизительно выбирать и приближенно вычислять объем многогранника. Алгоритм основан на случайных блужданиях и быстром перемешивании. Поэтому мы хотим найти другой квантовый алгоритм для той же цели. (Хорошо, мы можем надеяться, что квантовый алгоритм может также привести к тому, что в этом контексте мы не знаем, чтобы делать классически. Но для начала все, что нам нужно, - это другой алгоритм, это должно быть возможно).

Во-вторых, мы даже не настаиваем на приблизительной выборке равномерного распределения. Мы будем рады приблизительно попробовать другой хороший дистрибутив, который примерно поддерживается на нашем многограннике. Сантош Вампала (а также я в другом контексте) приводит аргумент, ведущий от выборки к оптимизации: если вы хотите оптимизировать выборку f (x), чтобы найти точку y, где f (x) типична. Добавьте ограничение {f (x)> = f (y)} и повторите.

Как отмечается в посте, существование классического алгоритма полиномиального времени для оценки объема выпуклого многогранника меняет правила игры. Квантовый алгоритм гораздо менее интересен, если он не конкурирует с классическими алгоритмами. В конце концов, без этого критерия любой классический алгоритм можно было бы просто назвать квантовым алгоритмом.

Тем не менее, все еще есть место для полиномиального ускорения, и основной, известной точкой зрения для этого типа ускорения является квантовое блуждание, особенно учитывая, что классическое ускорение в этом случае основано на хорошем случайном блуждании. (Действительно, любой квантовый алгоритм можно рассматривать как квантовое блуждание, но для некоторых алгоритмов это не обязательно полезно.) В различных статьях в литературе о КК указывалось, что алгоритмы для оценки объема выпуклого многогранника используют случайные блуждания, и что может быть ускорение от квантовой прогулки. Таким образом, похоже, что исследователи знают это предположение, но никто не пытался определить, какое полиномиальное ускорение вы могли бы получить для этой проблемы. Вы можете ничего не получить, если лучший классический алгоритм имеет своего рода спойлер,

Вот коллекция документов, которые все мимоходом упоминают основную идею; Опять же, Google Scholar, похоже, предполагает, что никто не пошел дальше.

1. arXiv: quant-ph / 0104137 - Квантовые прогулки по гиперкубу
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - Квантовые случайные блуждания совершаются экспоненциально быстрее
3. arXiv: quant-ph / 0301182 - Декогеренция в дискретных квантовых блужданиях
4. arXiv: quant-ph / 0304204 - Управление дискретными квантовыми блужданиями: монеты и начальные состояния
5. arXiv: quant-ph / 0411065 - Квантовое блуждание по линии с двумя запутанными частицами
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - Запутывание в квантовых блужданиях с чередованием на регулярных графах
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - Квантовое ускорение процессов классического смешения
8. arXiv: 0804.4259 - ускорение с помощью квантовой выборки
9. Подход случайного блуждания к квантовым алгоритмам
10. Дискретное квантовое блуждание для решения нелинейных уравнений над конечными полями

Другой стороной классических алгоритмов оценки объема выпуклого многогранника является линейное программирование. Я не знаю, был ли какой-то прогресс в поиске квантового ускорения для этого. Кажется трудным избежать стадии линейного программирования, чтобы поставить выпуклый многогранник в удобное положение для выборки.