Являются ли внутренние сокращения постоянными в нетипизированном λ-исчислении?

(Я уже спрашивал об этом в MathOverflow, но не получил там ответов.)

Фон

В нетипизированном лямбда-исчислении термин может содержать много переопределений, и различные варианты выбора, которые можно уменьшить, могут привести к совершенно разным результатам (например, $(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$ которые в один шаг ( $\beta$ -) сводится либо к $y$ либо к себе). Различные (последовательности) вариантов того, где сокращать, называются стратегиями сокращения . Термин $t$ называется нормализующее , если существует стратегия восстановления , которая приносит $t$ к нормальной форме. Термин $t$ называется сильно нормализующим , если каждая стратегия сокращения приносит $t$ к нормальной форме. (Меня это не беспокоит, но слияние гарантирует, что не может быть более одной возможности.)

Говорят, что стратегия редукции нормализует (и в некотором смысле это наилучший вариант ), если всякий раз, когда $t$ имеет нормальную форму, то на этом мы и окажемся. Самая крайняя левая стратегия нормализуется.

На другом конце спектра стратегия сокращения называется вечной (и в некотором смысле наихудшей возможной), если всякий раз, когда существует бесконечная последовательность сокращения из члена , стратегия находит такую последовательность - другими словами, мы могли бы не нормализоваться, тогда мы это сделаем. $t$

Я знаю о стратегиях вечного сокращения и определяемых соответственно как $F_\infty$ $F_{bk}$ и

\begin{array}{ll} F_{б К} (С [(λ Икс, s) T]) знак равно С [s [T / Икс]] & если T сильно нормализуется \\ F_{б К} (С [(λ Икс, s) T]) знак равно С [(λ Икс, s) F_{б К} (T)] & в противном случае \end{array}

$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

(В обоих случаях указанный

переопределение являетсякрайним левымв члене

- и на нормальных формах Стратегии редукции обязательно идентичны.) Стратегия

является дажемаксимальной- если она нормализует термин, то для этого использовалась максимально длинная последовательность редукции. (См., Например, 13.4 в книге Барендрегта.)

\begin{array}{ll} F_{\infty} (С [(λ Икс, s) T]) знак равно С [s [T / Икс]] & если Икс происходит в s, или если T в нормальной форме \\ F_{\infty} (С [(λ Икс, s) T]) знак равно С [(λ Икс, s) F_{\infty} (T)] & в противном случае \end{array}

$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$

β

$\beta$

C [(λ x . s) t]

$C[(\lambda x.s)t]$

F_{\infty}

$F_\infty$

Рассмотрим теперь крайнюю левую стратегию сокращения. Неофициально, это только уменьшит redex, который не содержит других redex. Более формально, оно определяется как $\beta$

\begin{array}{ll} L (T) знак равно T & если T в нормальной форме \\ L (λ Икс, s) знак равно λ Икс, L (s) & за s не в нормальной форме \\ L (s T) знак равно L (s) T & за s не в нормальной форме \\ L (s T) знак равно s L (T) & если s, но нет T в нормальной форме \\ L ((λ Икс, s) T) знак равно s [T / Икс] & если s, T оба в нормальной форме \end{array}

$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$

Естественная интуиция для самого левого-внутреннего сокращения состоит в том, что он выполнит всю работу - никакой редекс не может быть потерян, и поэтому он должен быть вечным. Поскольку соответствующая стратегия вечна для (нетипизированной) комбинаторной логики (самые внутренние сокращения вечны для всех ортогональных TRW), это не похоже на полностью беспристрастный голубоглазый оптимизм ...

$\lambda$

Если ответ окажется «нет», указатель на контрпример также будет очень интересным.

— Ков
источник

Кросспост из МО.

— Сянь-Чжи Чанг 之之

... как уже упоминалось в самой первой строке.

— Kow

@kow: Да, вы правы, и в кросспостинге нет ничего плохого :) Ссылка предназначена только для того, чтобы следовать за комментариями и ответами в МО, чтобы избежать двойного ответа. Смотрите обсуждение по мета .

— Сянь-Чи Чанг 之之

@kow: Когда вы в следующий раз создадите кросс-пост, пожалуйста, не забудьте добавить ссылку, желательно в обоих направлениях.

— Цуёси Ито

L (L (s) t)

$L(L(s)t)$

s

$s$

L (s)

$L(s)$

L (L (s))

$L(L(s))$

$tt$ $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ прекратит использование $L$ даже если оно имеет бесконечное сокращение.

Первый шаг сокращения: $L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$ ,

Первый шаг сокращения с $F_\infty$ является $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$ ,

— Раду ГРИГОРЕ
источник