Малые цепи для задачи оценки цепи

Пусть будет функцией, которая отображает схему s- гейта C на n битов и n- битную строку x на C ( x ) . Предположим, что схемы кодируются как ациклическая последовательность назначений k : = g ( i , j ), где i , j , k - метки проводов.$\mathsf{CircuitEval}_{s, n}$$s$$C$$n$$n$$x$$C(x)$$k := g(i, j)$$i, j, k$

Я знаю, что это немного забавный вопрос, но какова самая известная верхняя граница сложности схемы этой проблемы? Существует одноленточных ТМ, вычисляющих эту функцию, и поэтому при моделировании Фишера-Пиппенгера должно быть достаточно размера O ( ( s + n ) 2 log ( s + n ) ) . Квадратика возникает из-за необходимости искать назад и вперед. Можно ли сделать лучше? Можно ли это сделать в размере O ( s + n ) ?$O((s + n)^2)$$O((s + n)^2 \log(s + n))$$O(s + n)$

Из разговора с Райаном Уильямсом (который заслуживает похвалы за мою возможность опубликовать этот ответ) я узнал, что от Пола и Пиппенджера известно, что Circuit Eval может быть решена квазилинейным временным мультитейпом ТМ, а также что есть сокращения от мультитейпа TM для цепей, которые дают только квазилинейный размер. То есть Circuit Eval имеет схемы размером , согласно вашей формулировке.$(n+s)\log^{O(1)}(n+s)$

Это доказательство приведено здесь, на странице 6 (см. Теорему 3.1 (Фольклор)).