VC размерность полиномов над тропическими полукольцами?

Как и в этом вопросе, я заинтересован в $\mathbf{BPP}$ по сравнению с $\mathbf{P}$ / $\mathrm{poly}$ задачи для тропических $(\max,+)$ и $(\min,+)$ цепей. Этот вопрос сводится к показу верхних оценок размерности многочленов VC над тропическими полукольцами (см. Теорему 2 ниже).

Пусть $R$ полукольцо. Нулевой шаблон из последовательности $(f_1,\ldots,f_m)$ из $m$ многочленов $R[x_1,\ldots,x_n]$ является подмножество $S\subseteq \{1,\ldots,m\}$ , для которых существует $x\in R^n$ и $y\in R$ такой, что для всех , е I ( х ) = у тогдатолько тогда я ∈ S . То есть, графики именнотех многочленов F I с I ∈ S должен попасть в точку ( х , у ) ∈ R п + 1 . («Нулевой шаблон», поскольку условие f i ( x ) = y можно заменить на f i ( x ) - y = 0. ) Пусть$i=1,\ldots,m$$f_i(x)= y$$i\in S$$f_i$$i\in S$$(x,y)\in R^{n+1}$$f_i(x)=y$$f_i(x)-y=0$ = максимально возможное число шаблонов нулей последовательности из m многочленов степени не более d . Следовательно, 0 ≤ Z ( m ) ≤ 2 m . Измерение Вапника-Червоненкисиз степени д многочленов В С ( п , д ) : = макс { м : Z ( м ) = 2 м } . $Z(m)$$m$$d$$0\leq Z(m)\leq 2^m$$d$$VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$

Примечание: Обычно размерность VC определяется для семейства множеств как наибольшая мощность | S | множества S таким образом, что { F ∩ S : F ∈ F } = 2 S . Для того, чтобы вписаться в эту раму, можно связать с каждой парой ( х , у ) ∈ R п + 1 множество Р х , у всех многочленов ф степени ≤ D , для которых F ${\cal F}$$|S|$$S$$\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$$(x,y)\in R^{n+1}$$F_{x,y}$$f$$\leq d$ имеет место. Тогда размерность VC семейства F всех таких множеств F x , y точно равна V C ( n , d ) . $f(x)=y$${\cal F}$$F_{x,y}$$VC(n,d)$

Тривиальная верхняя оценка равна m ≤ n log | R | (нам нужно по крайней мере 2 m различных векторов x ∈ R n, чтобы иметь все 2 m возможных шаблонов), но это бесполезно в бесконечных полукольцах. Чтобы иметь хорошие верхние оценки на размерность VC, нам нужны хорошие верхние оценки на Z ( m ) . Над полями такие границы известны.$m=VC(n,d)$$m\leq n\log |R|$$2^m$$x\in R^n$$2^m$$Z(m)$

Теорема 1: по любому полю имеем Z ( m ) ≤ ( m d + $R$ . $Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$

Подобные верхние границы были ранее доказаны Милнором , Хайнцем и Уорреном ; их доказательства используют тяжелые методы из реальной алгебраической геометрии. Напротив, доказательство теоремы 1 на полстраницы Роняй, Бабая и Ганапати (которое мы приводим ниже) представляет собой простое применение линейной алгебры.

Глядя на небольшой «S , удовлетворяющие ( м d + $m$, получаем, что VC(n,d)=O(nlogd)выполняется для любогополя. С учетомБП$\binom{md+n}{n} < 2^m$$VC(n,d)=O(n\log d)$$\mathbf{BPP}$ против / р ø л у , здесь важно , что размерность только логарифмическая в степени д . Это важно, потому что схемы полиномиального размера могут вычислять полиномы экспоненциальной степени, а также потому, что это результат Haussler в обучении PAC (следствие 2 на стр. 114$\mathbf{P}$$\mathrm{poly}$$d$эта статья ) дает следующее (где мы предполагаем, что детерминированным схемам разрешено использовать большинство голосов для вывода их значений).

Теорема 2: выполняется для цепей над любым полукольцом R , где V C ( n , d ) является полиномиальным только от n и log d . $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$$R$$VC(n,d)$$n$$\log d$

Смотрите здесь о том, как из результата Хаусслера вытекает теорема 2.

В частности, по теореме 1 имеет место над любым полем. (Здесь интересен только случай бесконечных полей: для конечных работают гораздо более простые аргументы: тогда работает черновский предел.) Но как насчет (бесконечных) полуколец, которые не являются полями или даже не кольцами? Воодушевленные динамическим программированием, я в основном интересуюсь тропическими ( max , + ) и ( min , + ) полукольцами, но интересны и другие «неполевые» (бесконечные) полукольца. Обратите внимание, что за ( $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$$(\max,+)$$(\min,+)$ полукольцо, полином f ( x ) = ∑ a ∈ A c a ∏ n i = 1 x a i i с A ⊆ N и c a ∈ R , превращается в задачу максимизации f ( x ) = max a ∈ A { c a + a 1 x 1 + a 2 x $(\max,+)$$f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$$A\subseteq\mathbb{N}$$c_a\in \mathbb{R}$ ; степень F (как принято) максимум в 1 + ⋯ + в п над всем в ∈ A .$f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$$f$$a_1+\cdots+a_n$$a\in A$

Вопрос: Является ли размерность ВК полиномов степени над полиномом тропических полуколец от n log d ? $\leq d$$n\log d$

Я допускаю, что это может быть довольно сложный вопрос, чтобы ожидать быстрого ответа: тропическая алгебра довольно "сумасшедшая". Но, возможно, у кого-то есть идеи о том, почему (если таковые имеются) тропические полиномы могут давать больше нулевых шаблонов, чем реальных полиномов? Или почему они "не должны"? Или некоторые связанные ссылки.

Или, может быть, доказательство Бабая, Роняи и Ганапати (см. Ниже) можно каким-то образом «исказить» для работы над тропическими полукольцами? Или над любыми другими бесконечными полукольцами (которые не являются полями)?

Доказательство теоремы 1. Предположим, что последовательность имеет p различных нулевых шаблонов, и пусть v 1 , … , v p ∈ R n являются свидетелями этих нулевых шаблонов. Пусть S i = { k : f k ( v i ) ≠ 0 } - нулевой шаблон, засвидетельствованный i-м вектором v i , и рассмотрим полиномы $(f_1,\ldots,f_m)$$p$$v_1,\ldots,v_p\in R^n$$S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$$i$$v_i$$g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$ . Мы утверждаем, что эти многочлены линейно независимы от нашего поля. Это утверждение завершает доказательство теоремы, поскольку каждый имеет степень не более D : = m d , а размерность пространства многочленов степени не более D равна ( n + $g_i$$D:=md$$D$ . Чтобы доказать утверждение, достаточно отметить, чтоgi(vj)≠0тогда и только тогда, когдаSi⊆Sj. Предположим, что существует нетривиальное линейное отношение λ1gi(x)+⋯+λpgp(x)=0. Пустьjбудет индексом таким, что| Sj| является минимальным средиSяс$\binom{n+D}{D}$$g_i(v_j)\neq 0$$S_i\subseteq S_j$$\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$$j$$|S_j|$$S_i$$\lambda_i\neq 0$. Substitute $v_j$ in the relation. While $\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$, we have $\lambda_ig_i(v_j)=0$ for all $i\neq j$, a contradiction. $\Box$

I've realized that the answer to my question is - yes: the VC dimension of degree $\leq d$ polynomials on $n$ variables over any tropical semiring is at most a constant times $n^2\log(n+d)$. This can be shown using Theorem 1 above. See here for details. So, BPP $\subseteq$ P / poly также подходит для тропических цепей и, следовательно, также для «чистых» алгоритмов динамического программирования.

---

NB (добавлено 25.06.2019) В то же время, я решил проблему полностью в этой статье. In such a generality, which I haven't even dreamed at the beginning. Tropical case is here just a very, very special case. And even more curiously: by just an appropriate combination of already know (deep in any respect) results of other authors.

Что еще нужно сделать в этом (BPP против P / poly) направлении? Помимо уменьшения размера получающихся детерминированных схем (интересный вопрос сам по себе).