Решает ли изменение одной записи уменьшение перманента матрицы в полиномиальной иерархии?

Рассмотрим следующую задачу: для заданной матрицы , индексов и целого числа . Заменить по и вызвать новую матрицу . Является ли $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ $i,j\in\{1,\dots,n\}$ $a$ $M[i,j]$ $a$ $\hat M$ ? $per(M)>per(\hat M)$

Это проблема в полиномиальной иерархии?

permanent

— Т ....
источник

Это может быть решено двумя вызовами оракула #P ... Если бы он был в PH, то это означало бы, что PP также находится в PH ... Однако, если PP находится в PH, тогда PH рухнет. Поэтому я думаю, что вряд ли это в PH.

— Тайфун Пей

@TayfunPay Я не думаю, что аргумент правильный. Эта проблема может быть решена с помощью двух вызовов #P, но это не может быть исключено так легко, что есть более простой алгоритм, который может показать, что он в PH. Вы должны показать, что это трудно для #P для этого, например, уменьшив значение Permanent.

— Ян Йоханнсен

Если вы включите определение перманента и упростите полученное неравенство, ваша проблема сводится к тому, является ли перманент данной (n-1) -бай (n-1) матрицы строго положительным.

— Гамов,

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ возвращает истину.

— holf

@holf: я думаю, что вы должны опубликовать это как ответ. Это довольно определенно отвечает на вопрос, и тогда вопрос больше не будет выглядеть как «без ответа».

— Джошуа Грохов

Ваша проблема эквивалентна тестированию с учетом , если . $M$ $PER(M) > 0$

Доказательство : предположим, что вам дано и вы хотите решить, будет ли . Построим следующим образом : Это Легко видеть, что . Теперь определим как где мы заменяем запись на . Из мультилинейности следует, что . Таким образом, тогда и только тогда, когда $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

Теперь предположим, что вам даны , и и определите как в вашем вопросе, то есть изменив $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

$M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— holf
источник

Хороший ответ, но, вероятно, стоит четко указать и ответ на вопрос ОП.

— Стелла Бидерман