Оцените логическую схему на партии аналогичных входов

Предположим, у меня есть логическая схема $C$ это вычисляет некоторую функцию $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ , Предположим, что схема состоит из логических элементов И, ИЛИ и НЕ с максимальным и минимальным разветвлениями 2.

Позволять $x \in \{0,1\}^n$ быть заданным входом. Данный $C$ а также $x$ Хочу оценить $C$ на $n$ входы, которые отличаются от $x$ в позиции одного бита, т. е. для вычисления $n$ ценности $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ где $x^i$ такой же как $x$ кроме того, что его $i$ этот бит перевернут.

Есть ли способ сделать это более эффективным, чем независимая оценка? $C$ $n$ раз на $n$ разные входы?

Предполагать $C$ содержит $m$ ворота. Затем самостоятельно оценивая $C$ на все $n$ входы будут принимать $O(mn)$ время. Есть ли способ вычислить $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ в $o(mn)$ время?

Необязательный контекст: если бы у нас была арифметическая схема (чьи ворота - умножение, сложение и отрицание) над $\mathbb{R}$ тогда можно было бы вычислить $n$ производные по направлению ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ в $O(m)$ время. В принципе, мы могли бы использовать стандартные методы для вычисления градиента (правило обратного распространения / цепочки), в $O(m)$ время. Это работает, потому что соответствующая функция непрерывна и дифференцируема. Мне интересно, можно ли сделать нечто подобное для логических схем. Булевы схемы не являются непрерывными и дифференцируемыми, поэтому вы не можете сделать то же самое, но, может быть, есть какой-то другой умный метод, который можно использовать? Может быть, какой-то трюк Фурье или что-то?

(Вариант вопроса: если у нас логические вентили с неограниченным разветвлением и ограниченным разветвлением, можете ли вы сделать асимптотически лучше, чем оценка $C$ $n$ раз?)

— DW
источник

Поскольку Эндрю очень хорошо ответил на ваш вопрос, я просто оставлю комментарий. Если

m

$m$ большой (как

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$ ) а ты оцениваешь

C

$C$ на многих входах (до

2^{o (n / \log n)}

$2^{o(n/\log n)}$ ) то есть

C^{'}

$C'$ только размера

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$ который может оценить

C

$C$ на любом

m

$m$ входы. (В литературе эта проблема также называется «массовое производство».) См. Улиг «О синтезе самокорректирующихся схем из функциональных элементов с небольшим количеством надежных элементов». Math.Notes Acad.Sci. СССР 15, 558--562. Так что в некоторых случаях вы можете добиться большего успеха с неравномерностью.

— Райан Уильямс

Я считаю маловероятным, что такой трюк легко найти и / или даст вам значительный выигрыш, поскольку он даст нетривиальные алгоритмы выполнимости. Вот как:

Прежде всего, хотя якобы проще, ваша проблема может на самом деле решить более общую проблему, учитывая схему $C$ а также $N$ входные $x_0, \ldots, x_{N-1}$ оценить $C$ на всех входах быстрее, чем $\tilde{O}(N\cdot|C|)$ время. Причина в том, что мы можем настроить $C$ в цепь $C'$ размера $|C| + \tilde{O}(Nn)$ который на входе $0^i10^{N-1-i}$ , выходы $C(x_{i})$ , По сути, мы просто создаем небольшую таблицу поиска, которая отправляет $0^i10^{N-1-i}$ в $x_i$ и подключите его к $C$ ,

Нетривиальные алгоритмы для пакетной оценки булевых схем могут затем использоваться для создания быстрых алгоритмов выполнимости. Вот пример в простом случае, когда мы предполагаем, что у нас есть алгоритм, выполняющий оценку во времени $\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ для любой постоянной $\epsilon > 0$ , На входе цепь $C$ мы можем решить удовлетворяемость путем расширения $C$ в цепь $C'$ размера $2^{n/2}\cdot |C|$ который является просто ИЛИ над всеми возможными вариантами первого $n/2$ входы в $C$ (оставляя другие входы свободными). Затем мы проводим пакетную оценку $C'$ на всем своем $2^{n/2}$ входы. Конечным результатом является то, что мы находим удовлетворительное назначение $C'$ тогда и только тогда $C$ выполнимо. Время работы $\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$ ,

— Эндрю Морган
источник