Разрушается в предположении, что

Известно , что если $NP\subseteq P/Poly$ то многочлен иерархии коллапсирует $\Sigma_2^{P}$ и $MA = AM$ .

Какие самые сильные коллапсы могут произойти, если ?$NEXP\subseteq P/Poly$

Я считаю , что самым сильным является то , что . Это доказали Импальяццо Кабанец и Вигдерсон.$NEXP = MA$

См. Https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=en&as_sdt=0,5&sciodt=0,5.

Мне также было бы интересно узнать о более сильных провалах, чем этот.

Редактировать (8/24): Хорошо, я подумал о некотором потенциально более сильном крахе, который по существу следует из доказательств вышеупомянутой связанной статьи. Поскольку подразумевает N E X P = E X P (см. Ссылку выше) и E X P является замкнутым относительно дополнения, мы также имеем N E X P, замкнутое относительно дополнения, и, следовательно, N E X P = M A ∩ c o M $NEXP \subset P/poly$$NEXP = EXP$$EXP$$NEXP$$NEXP = MA \cap coMA$, который немного сильнее. Действительно, гипотеза предполагает , что для любого языка, А одна строка свидетель ш п может быть использован в соответствующем протоколе MA для всех YES-экземпляров какой - либо заданной длины п , так и N E X P = O M A ∩ c o O M A (где O M A = "Забывчивый MA", см. Fortnow-Santhanam-me http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.156.3018&rep=rep1&type=pdf$NEXP$$w_n$$n$$NEXP = OMA \cap coOMA$$OMA$). Эти дополнительные свойства, хотя и технические, могут оказаться полезными в некоторых аргументах нижней границы схемы.

Редактировать 2: Похоже, Эндрю Морган уже подчеркнул это. Упс :)

Происходит много забавных вещей. Большинство из тех, что я знаю, начинаются с газеты IKW . Там $\textrm{NEXP} = \textrm{MA}$ коллапс NEXP = MA , и (я думаю) это самый сильный буквальный коллапс классов сложности, которые мы знаем. Есть и другие виды «обвалов», хотя я думаю, что на это следует обратить внимание.

Наиболее важным, я думаю, является свойство "универсального сжатого свидетеля" (также из статьи IKW). С одной стороны, он дает вам инструмент, из которого многие другие провалы являются прямыми последствиями; во-вторых, последние нижние границы схемы (например, здесь и здесь ) для $\textsf{NEXP}$ используют это соединение. Вкратце, свойство говорит о том, что для каждого $\textsf{NEXP}$ языка $L$ и любой $\textsf{NEXP}$ машины $M$ решающей $L$ , каждый $x \in L$ имеет кратко описываемый свидетель в соответствии с M, так что для каждого x ∈ L$M$ . Формально существует полином$p$ зависимости от$M$$x \in L$ существует схема $C_x$ размера $p(|x|)$ так что таблица истинности $C_x$ является последовательностью недетерминированных выборов для $M$ которые приводят к принятию на входе $x$ .

Краткость свидетелей пригодится, потому что вы можете легко извлечь из нее множество других провалов. Например, тривиально следует, что $\textsf{NEXP} = \textsf{coNEXP} = \textsf{EXP}$ . Например, предположим , что $L$ в $\textsf{NEXP}$ через $\textsf{NEXP}$ -machine $M$ . Свойство краткого свидетеля говорит, что есть многочлен $p$ так что у $M$ есть краткие свидетели размера $p$ . Затем мы можем определить $L$ в $\textsf{EXP}$ , введя на входе $x$ , перебор всех цепей размером не более $p(|x|)$ и проверить, кодируют ли они последовательность вариантов выбора, которые приводят к$M$ принятию на входе $x$ . Вы можете объединить это с (ранее известным из интерактивных доказательств) результатом, что $\textsf{EXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{EXP} = \textsf{MA}$ для заключения$\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly} \implies \textsf{NEXP} = \textsf{MA}$ .

Стоит подчеркнуть, что мы можем выбрать $M$ и, следовательно, форму свидетелей. Например, из « $\textsf{NEXP}$ есть универсальные сжатые свидетели» можно сделать вывод, что $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA} = \textsf{co-OMA}$ . Здесь $\textsf{OMA}$ - «забывчивый-MA», что означает, что существует честный Мерлин, который зависит только от длины ввода. Легко видеть, что $\textsf{OMA} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$ , поэтому в основном это просто дает нормальную форму для того, как языки $\textsf{NEXP}$ вычисляются в $\textsf{P}/\textrm{poly}$ при условии, что $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$на первом месте. Вот один из способов увидеть крах $\textsf{OMA}$ :

For a language $L \in \mathsf{NEXP}$ decided by a machine $M$, construct a $\mathsf{NEXP}$ machine $M'$ as follows. View the $n$-bit input as a number $N$ between $1$ and $2^n$. For every $x$ of length $n$, guess a witness $w_x$ and run $M(x,w_x)$ to verify it. $M'(N)$ accepts if and only if $M$ accepts for at least $N$ values of $x$. The guesses are arranged such that a succinct description of a witness for $M'$ is a circuit $C$ which computes the map $(x,i) \mapsto$ the $i$-th bit of $w_x$. Now suppose that $N$ is precisely the number of strings in $L$ at length $n$. Then succinct witnesses for $M'$ on input $N$ are circuits that simultaneously encode all of $M$'s witnesses for length-$n$ inputs. In particular, if $M'$ has succinct witnesses, then all of $M$'s witnesses can be simultaneously described by the same circuit.

To complete the claim, we'll recall that $\textsf{NEXP} = \textsf{PCP}[\textrm{poly}, \textrm{poly}]$. Letting $M$ be the machine which guesses the PCP and then deterministically simulates the verifier, the above paragraph tells us the existence of simultaneously succinctly describable PCPs for every language in $\textsf{NEXP}$. So now to get $\textsf{NEXP} = \textsf{OMA}$, we have Merlin send the succinct description of the PCPs for all inputs of the current input length, which Arthur can check by just plugging in his input and then running the PCP verifier.

[Thanks to Cody Murray for pointing out the trick of using the input to count the number of strings in $L$. Previously I had $M'$ use that if $\mathsf{NEXP}\subseteq\mathsf{P/poly}$ then $\mathsf{NEXP}=\mathsf{EXP}$ to write down the truth table of $L$, but Cody's strategy is more elegant.]

As a final note, while technically implied by $\textsf{NEXP}=\textsf{MA}$, the collapse $\textsf{NEXP}=\textsf{PSPACE}$ has another interesting implication. It's known that $\textsf{PSPACE}$ has a complete language which is both downward self-reducible as well as random self-reducible. Ordinarily, all such languages sit inside $\textsf{PSPACE}$ and so we shouldn't hope to say (unconditionally) that $\textsf{NEXP}$ has such a complete language as long as we hope that $\textsf{NEXP} \ne \textsf{PSPACE}$. However, if $\textsf{NEXP} = \textsf{PSPACE}$, then $\textsf{NEXP}$ does have such complete languages. A similar statement (replacing $\textsf{NEXP}$ by $\textsf{EXP}$) was used by Impagliazzo and Wigderson to conclude a sort of "derandomization dichotomy" for $\textsf{BPP}$ in relation to $\textsf{EXP}$, so it may be useful in discovering other consequences of $\textsf{NEXP} \subseteq \textsf{P}/\textrm{poly}$.