О свойствах матрицы смежности, когда граф плоский

1- Существуют ли какие-либо конкретные свойства для матрицы смежности, когда граф плоский?
2. Есть ли что-то особенное для вычисления матрицы перманента смежности, когда граф плоский?

Вычисление детерминанта и перманента плоских графов так же сложно, как вычисление их в общих графах. Они завершены для GapL и #P соответственно. См. Этот документ Датта, Кулкарни, Лимайе, Махаджан для более подробной информации.

Это больше свойство матрицы инцидентности, чем матрицы смежности, но одним важным свойством плоских графов является то, что они в точности являются графами, чей графический матроид является двойственным к другому графическому матроиду. Отношение к матрицам инцидентности состоит в том, что графический матроид описывает наборы независимых столбцов в матрице.

Существует свойство матрицы расстояний (а не матрицы смежности) ограниченных плоских графов, которое может представлять интерес, свойство Monge . Свойство Monge (благодаря Гаспарду Monge) для плоских графов по существу означает, что некоторые кратчайшие пути не могут пересекаться. См. Wikipedia: Monge Array для формального описания свойства Monge. Джиджев (WG 1996) ( статья на сайте Джиджева ) и Факчароэнфол и Рао (FOCS 2001) ( видео ) показывают, как использовать свойства непересекающихся в алгоритмах кратчайшего пути.

Я не уверен, какие свойства вы ищете, но спектральный радиус плоских графов - одна из таких величин (максимальное абсолютное значение собственного значения матрицы смежности). Смотрите, например, эту статью .

Хотя это не имеет прямого отношения к вашему вопросу, вы можете посмотреть на работу над последовательностями степеней плоских графов. Не существует известных характеристик, когда последовательность степеней является последовательностью степеней плоского графа. Тем не менее, существует множество интересных статей по таким вопросам, в том числе:

http://www.jstor.org/pss/2100346