Максимальный вес соответствия и субмодульные функции

Для двудольного графа с положительными весами пусть с равным максимальному совпадению весов в графе . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

Правда ли, что субмодулярная функция? $f$

matching submodularity

— Джордж Октавиан Рабанка
источник

Что вы думаете? Вы пытались это доказать / опровергнуть?

— Юваль Фильмус

Интуитивно кажется, что это должно быть правдой, но я не смог доказать это. Также я думаю, что если это правда, это должен быть хорошо известный результат, но я не смог найти ссылку.

— Джордж Октавиан Рабанка

Это верно для невзвешенного случая, поскольку его можно уменьшить до минимальных сокращений. Это не очевидно, как доказать взвешенную версию ...

— Чао Сюй

Рассмотрим

K_{2, 2}

$K_{2,2}$ с весами ребер 1,1,1,2.

— Андрас Саламон

@ AndrásSalamon Кажется, что на последнем шаге вы предполагаете, что

является аддитивным, что не соответствует действительности. Максимальное соответствие

может использовать вершины , которые уже были использованы как согласованием

. У меня есть доказательства для этого сейчас, но определенно больше, чем это.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— Джордж Октавиан Рабанка

Определение . Для заданного конечного множества функция является субмодулярной, если для любого выполнено, что: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Лемма. Учитывая двудольный граф с положительными весами ребер, пусть будет функцией, которая отображает на значение соответствия максимального веса в , Тогда субмодулярна. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Доказательство. Зафиксируем два множества и пусть и будут двумя совпадениями для графов и соответственно. Для доказательства леммы достаточно показать, что можно разбить ребра в и на два непересекающихся соответствия и $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ для графиков и соответственно. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Ребра и образуют совокупность чередующихся путей и циклов. Пусть обозначим эту коллекцию и заметим , что не цикл не содержит вершин из или . Это верно, потому что не совпадает с этими вершинами. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Пусть множество путей в , по меньшей мере с одной вершиной в и пусть множества путей в , по меньшей мере с одной вершиной в . Два таких пути изображены на рисунке ниже. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Утверждение 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

$P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— Джордж Октавиан Рабанка
источник

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$