Почему мы рассматриваем лог-пространство как модель эффективных вычислений (вместо полилог-пространства)?

Это может быть субъективный вопрос, а не конкретный ответ, но в любом случае.

В теории сложности мы изучаем понятие эффективных вычислений. Существуют классы, такие как обозначает полиномиальное время , а обозначает пространство журнала . Оба они считаются своего рода «эффективностью», и они довольно хорошо отражают трудности некоторых проблем.$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

Но есть разница между и : в то время как полиномиальное время, , определяется как объединение задач, которое выполняется за время для любой постоянной , это,L P O ( n k ) $\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$ ,

пространство журнала определяется как . Если мы подражаем определению , оно становитсяS P A C E [ log n ] $\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$ ,

где называется классом пространства полилогов . Мой вопрос:$\mathsf{PolyL}$

Почему мы используем пространство журнала как понятие эффективного вычисления, а не пространство полилога?

Одна главная проблема может быть о полных наборах проблем. При сокращении пространства журнала «один-один» у и есть полные проблемы. Напротив, если имеет полные проблемы при таких редукциях, то мы бы противоречили теореме о пространственной иерархии. Но что, если мы перешли к сокращению полилога? Можем ли мы избежать таких проблем? В общем, если мы стараемся вписать в понятие эффективности и (при необходимости) изменить некоторые определения, чтобы получить все хорошие свойства, которые должен иметь «хороший» класс, как далеко мы можем зайти?$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

Есть ли теоретические и / или практические причины для использования пространства журнала вместо пространства полилога?

Наименьший класс, содержащий линейное время и закрытый по подпрограммам, является P. Наименьший класс, содержащий лог-пространство и закрытый по подпрограммам, все еще является лог-пространством. Таким образом, P и L являются наименьшими надежными классами для времени и пространства соответственно, поэтому они чувствуют себя подходящими для моделирования эффективных вычислений.

Одна из проблем заключается в том, что неизвестно, . Это в значительной степени убивает понятие эффективности. С другой стороны, определение того, является ли пересечение языков, распознаваемых автоматами непустыми, является при сокращениях пространства журналов [Ланге-Россманит] . Возможно, есть некоторые похожие проблемы для детерминированного полилопространства.log k - 1 ( n ) NSPACE [ log k n ] $\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

Класс изучался в прошлом. [Кук] доказал, что . Как отметил Деррик Столи, этот класс теперь известен как и обобщен в . Больше информации здесь .$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

Пространство журнала гарантирует полиномиальное время, поскольку существует не более конфигураций данной машины Тьюринга для пространства журналов. Полные проблемы Undirected Reach и Directed Reach (для L и NL соответственно) очень «хороши» для размышления.$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

Обратите внимание, что ваше определение PolyL также дает PolyL = NPolyL по теореме Савича, поскольку .$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

Когда речь идет о пространстве полилогов, была проделана работа по рассмотрению пространства полилогов с одновременным полиномиальным временем, давая иерархию SC: . $\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

Я думаю, что все остальные ответы очень хороши; Я постараюсь дать другой взгляд на проблему.

Я не знаю, насколько хорошо P моделирует «эффективные» вычисления в реальном мире, но нам нравится класс из-за его хороших свойств замыкания и других математических причин. Точно так же L - хороший класс по некоторым из вышеупомянутых причин.

Однако, как вы прокомментировали, если мы снизим наше определение «эффективного» до квазиполиномиального времени, то PolyL также будет эффективным. Мы могли бы обсудить теорию сложности, где мы позволяем классам, определенным с логарифмической границей на некотором ресурсе, вместо этого использовать ресурсы полилога. Соответственно, мы также ослабили бы наши определения NC, NL и т. Д., Чтобы вместо этого допустить схемы квазиполиномиального размера. Если мы сделаем это, NC ₁ , L, NL и NC все совпадут с классом PolyL. В этом смысле PolyL является устойчивым классом, поскольку многие естественные классы совпадают с ним. Для получения дополнительной информации о теории сложности с log -> polylog и полиномиальной -> квазиполиномиальной, см. Классы схем квазиполиномиального размера по Barrington.

Другая причина изучения polyL или аналогичных классов, таких как квази-AC _0, заключается в том, что хотя разделение оракула между (скажем) ParityP и PH подразумевает, что PARITY не содержится в AC ₀ , обратное следствие неизвестно, чтобы быть правдой. С другой стороны, PARITY не содержится в квази-AC ₀ тогда и только тогда, когда существует разделение оракула между ParityP и PH. Точно так же классы квази-TC ₀ и квази-AC ₀ различны тогда и только тогда, когда между CH и PH существует разделение оракула. Таким образом, обычные классы сложности, такие как PH, ModPH, CH и т. Д. При уменьшении экспонентой для доказательства результатов оракула, превращаются в квазиполиномиальные версии обычных классов AC ₀ , ACC ₀ и TC.₀ соответственно. Точно так же аргумент, используемый в теореме Тоды (PH содержится в P ^PP ), может использоваться, чтобы показать, что квази-AC ₀ содержится в квази-TC ₀ глубины-3 . (Я не знаю, известен ли такой же вывод для обычных версий этих классов. В некоторых статьях я видел это в списке открытых проблем.)