Как версия MA SETH оказалась ложной?

Согласно этой статье , в которой обсуждается недетерминированное расширение гипотезы сильного экспоненциального времени (SETH), «[…] Уильямс недавно показал, что связанные гипотезы о сложности Мерлин-Артура k-TAUT являются ложными». Тем не менее, эта статья цитирует только личное общение.

Как версия MA SETH оказалась ложной?

Я подозреваю, что это включает в себя алгебраическую формулу, но не имеет дальнейшей идеи.

Препринт можно найти, перейдя по этой ссылке http://eccc.hpi-web.de/report/2016/002/

РЕДАКТИРОВАТЬ (1/24) По запросу, вот краткое резюме, взятое из самой бумаги, но затенение многих вещей. Предположим, что Мерлин может доказать Артуру, что для переменной арифметической схемы C его значение во всех точках в { 0 , 1 } k является некоторой таблицей из 2 k элементов поля во времени около ( s + 2 k ) ⋅ d , где s - размер C, а d - степень полинома, вычисленного $k$$C$$\{0,1\}^k$$2^k$$(s + 2^k) \cdot d$$s$$C$$d$$C$, (Мы называем это «коротким неинтерактивным доказательством оценки партии» - оценивая во многих заданиях.)$C$

Тогда Мерлин может решить SAT для Артура следующим образом. Учитывая CNF F на п переменных и т положений, Мерлин и Артур первым построить арифметическую схему C на п / 2 переменных степени не выше т п , размер около м п ⋅ 2 н / 2 , который принимает сумму по всем присвоений первые n / 2 переменных CNF F (добавление 1 к сумме, когда F истинно, и $\#$$F$$n$$m$$C$$n/2$$mn$$mn \cdot 2^{n/2}$$n/2$$F$$1$$F$$0$ когда она ложна). Используя протокол оценки партии, Merlin может доказать, что $C$ принимает на конкретных значений на все свои 2 п / 2 булевых задания, примерно в 2 н / 2 р о л у ( п , т ) время. Суммируя все эти значения, мы получаем количество присвоений SAT до F .$2^{n/2}$$2^{n/2}$$2^{n/2} poly(n,m)$$F$

Теперь мы говорим на высоком уровне, как сделать протокол оценки партии. Мы хотим, чтобы доказательство было кратким представлением схемы $C$ которую легко оценить на всех заданных входах, а также легко проверить случайностью. Мы установили доказательство , чтобы быть одномерный полином Q ( х ) , определенная над достаточно большим расширением области основного поля K (характеристики , по меньшей мере 2 л для нашего приложения), где Q ( х ) имеет степень около 2 K ⋅ d , и Q `` наброски '' оценки степени$2^k$$Q(x)$$K$$2^n$$Q(x)$$2^k \cdot d$$Q$ арифметическая схема C по всем 2 k отведениям. Полином Q удовлетворяет двум противоречивым условиям:$d$$C$$2^k$$Q$

• Верификатор можно использовать эскиз , чтобы эффективно производить таблицу истинности C . В частности, для некоторых явно известных α i из расширения K мы хотим ( Q ( α 0 ) , Q ( α 1 ) , … , Q ( α K ) ) = ( C ( a 1 ) , … , C ( 2 К ) ) , где$Q$$C$$\alpha_i$$K$$(Q(\alpha_0), Q(\alpha_1),\ldots,Q(\alpha_K)) = (C(a_1),\ldots,C(a_{2^K}))$ - это i- е булево присваивание k переменным C (при некотором порядке присваивания).$a_i$$i$$k$$C$

• Верификатор может проверить, что является точным представлением поведения C во всех 2 k булевых присваиваниях, примерно через 2 k + s времени, со случайностью. Это в основном становится одномерным тестом полиномиальной идентичности.$Q$$C$$2^k$$2^k + s$

Конструкция использует интерполяционный трюк, основанный на голографических доказательствах, где многовариантные выражения могут быть эффективно "выражены" как одномерные. Оба из этих двух пунктов используют быстрые алгоритмы для управления одномерными полиномами.$Q$