Логические соотношения для предиктивной системы в предикативной мета-теории

Логические отношения для непредсказуемых языков, таких как Система F, похоже, критически полагаются на непредсказуемость внешней логики. В частности, интерпретация для типа Форалла будет определяться в терминах всех типизированных отношений. В непредсказуемой системе (например, CiC / Coq) это нормально, но в предикативной системе (например, в Agda) это кажется невозможным.

Как это может быть сделано? Например, как бы вы доказали нормализацию для System F в Agda? Вы должны построить свою собственную непредсказуемую вселенную?

В общем, то, что мы обычно называем аргументом логических отношений, на самом деле не связано с непредсказуемостью: основная идея состоит в том, чтобы просто интерпретировать термины в некоторой абстрактной алгебре и представлять типы как ( -ное) отношение .$\cal A$$n$$R \subseteq \cal A^n$

Это прекрасно работает для всех видов теорий типов, включая теории с зависимой типизацией, см., Например, Shürmann and Sarnat: Структурные логические отношения, где предикативная логика (та из Twelf) используется, чтобы доказать определенное свойство (разрешимость равенства) для предикативного исчисления (просто набрал -calculus) используя логические отношения.$\lambda$

Как вы , возможно, подозревал, однако, не удалось доказать нормализацию системы F в Agda (если Agda не тайно сильнее , чем ожидалось, то есть о силе теории типа Мартин-LOF с кучей вселенных). Это связано с тем, что нормализация системы F подразумевает согласованность арифметики 2-го порядка ( ), которая сильнее теории типов ML с любым числом (предикативных) вселенных.$\mathrm{PA}_2$

Тем не менее, поучительно выяснить, где именно доказательства в Агде идут не так. Это действительно происходит, когда вы пытаетесь определить логические отношения интерпретации нечеткого количественного определения. Интерпретация неимпредикативных связок (включая «зависимое» количественное определение) кошерна в такой теории, как Агда.