Каковы доказательства того, что изоморфизм графов отсутствует в

23

По мотивам комментария Фортнау к моему сообщению, доказательством того, что проблема изоморфизма графов не является $NP$ -полным , и тем фактом, что $GI$ является главным кандидатом в $NP$ -проблеменную проблему (не $NP$ -полное ни в $P$ ), я заинтересованы в известных доказательств , что $GI$ не в $P$ .

Одним из таких доказательств является $NP$ -полнота ограниченной задачи автоморфизма графа (задача об автоморфизме свободного фиксированного графа является $NP$ -полной). Эта проблема и другие обобщения $GI$ были изучены в « Некоторые NP-полные задачи, подобные изоморфизму графа » Люби. Некоторые могут возразить , как доказательство того факта , что , несмотря на более чем 45 лет ни один не найден полиномиальный алгоритм для $GI$ .

Какие еще доказательства мы должны верить, что $GI$ не в $P$ ?

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

2

Подграф-изоморфизм также NP-полон.

$\;$

1

Несколько слабым доказательством является растущий класс проблем, эквивалентных логическому пространству для GI, но ни одна из которых, кажется, не имеет очевидных алгоритмов разветвления. (Конечно, если у одного из них есть алгоритм polytime, то у всех так и есть.)

— Андрас Саламон,

косвенные доказательства, аналогичные P против NP: десятилетия оптимизации алгоритмов GI, например, nauty, которые все еще имеют экспериментально проверяемые не-P тенденции наихудшего случая, по-видимому, главным образом на случайных регулярных графах.

— vzn

1

см. также жесткие графики для тестирования GI

— vzn

Что Вы думаете об этом? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Анна Томскова

11

До этого вопроса я считал, что изоморфизм графов может быть в P, т. Е. Нет никаких доказательств того, что GI не в P. Поэтому я спросил себя, что будет считать доказательством для меня: если бы существовали зрелые алгоритмы для - групповой изоморфизм, который полностью использовал доступную структуру -групп и все еще не имел бы надежды на достижение полиномиального времени выполнения, тогда я согласился бы, что GI, вероятно, отсутствует в P. Существуют известные алгоритмы, которые используют доступную структуру, например тестирование изоморфизма для - групп. О'Брайен (1994) $p$ $p$ $p$ , но я не прочитал его достаточно подробно, чтобы судить, полностью ли он использует имеющуюся структуру или есть ли надежда улучшить этот алгоритм (без использования дополнительной неочевидной структуры -групп) для достижения полиномиального времени выполнения. $p$

Но я знал, что Дик Липтон призвал к действию в конце 2011 года, чтобы прояснить вычислительную сложность проблемы изоморфизма группы в целом и проблемы изоморфизма группы в частности. Так что я погуглил $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

чтобы увидеть, был ли призыв к действию успешным. Это было действительно:

В последнем посте рассматривается статья, в которой достигается для некоторых важных семейств групп, используется большая часть доступной структуры, и признается вышеупомянутая статья 1994 года. Поскольку ограничено временем выполнения и совместимо с опытом, что изоморфизм графов не сложен на практике, и с опытом, что никто не может придумать алгоритм полиномиального времени (даже для группового изоморфизма), это можно считать доказательством того, что GI не находится в P , $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— Томас Климпел
источник

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problems также был найден в результате моего поиска. Это приводит теорема 2 Изоморфизм графов в . Кроме того, каждая проблема обещания в принадлежит как определено для задач обещания. ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ Это доказательство того, что GI не является NP-завершенным, но это не был вопрос здесь. Позвольте мне добавить, что я не вижу проблем с длиной или стилем моего ответа, потому что я интерпретирую запрос о предоставлении доказательств как запрос о мотивированном мнении.

— Томас Климпел

5

Я не слежу за твоими рассуждениями. Как вы можете знать, что «доступная структура» «полностью эксплуатируется»? Если что-нибудь, разве статья Грохова-Цяо не предполагает, что с классами когомологий можно сделать гораздо больше?

— Сашо Николов

@SashoNikolov Под «доступной структурой» я имею в виду знания о структуре в сообществе теории групп, связанных сообществах и существующих публикациях. Примерами того, что структура не «полностью используется», являются публикации, основная цель которых состоит в том, чтобы придумать практичный реализуемый алгоритм, который поэтому останавливается в некоторой точке и просто упоминает остальные ограничения без четких указаний, являются ли они фундаментальными. В работе Грохова-Цяо были рассмотрены те, которые непосредственно атаковали вычислительную сложность группового изоморфизма, и, следовательно, ее результаты являются хорошим доказательством.

— Томас Климпел

11

Наименьший набор перестановок, который вы должны проверить, чтобы убедиться, что в настройках черного ящика нет нетривиальных перестановок, лучше, чем но все еще экспоненциальный, OEIS A186202 . $n!$

Количество битов, необходимых для хранения немаркированного графа, равно из . Смотри Наор, Мони. «Краткое представление общих немеченых графов». Дискретная прикладная математика 28,3 (1990): 303-307. Доказательство метода сжатия немного чище, если я помню. Во всяком случае, позволяет вызов, набор . Пусть для помеченных графов. $log_{2}$ ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

$U^L$ и если вы конвертируете в экспоненту. Простое изучение сигнатур типов, перевод графов в каноническую форму выглядит проще, но, как показано выше, GC облегчает GI. $Bool^{L^{L}}$

— Чад Brewbaker
источник

Спасибо. Насколько сильны такие аргументы?

— Мухаммед Аль-Туркистани

есть ли ссылка, которая документирует эту связь дальше?

— vzn

3

@ MohammadAl-Turkistany: Это в основном аргумент сложности запроса. Но известные алгоритмы, например, Babai-Luks 1983, уже преодолели эту границу, я думаю, с существенным отрывом (что-то вроде

против

2^{n}

$2^n$

).

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Джошуа Грохов

1

@ChadBrewbaker: Если ваша проблема закодирована, и сложность среднего случая, я уверен, что nauty работает значительно лучше, чем ваш алгоритм. (Обратите внимание , что наиболее известным нижняя граница nauty является

(Miyazaki , 1996), а также алгоритм поли-времени было найдено для графиков Миязаки. Простой анализ показывает , нижняя граница

по вашему алгоритму.) Кроме того, GI в среднем случае линейного времени (Бабаи-Кучера).

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— Джошуа Грохов

2

@ MohammadAl-Turkistany: этот вопрос заставил меня глубже задуматься о моих убеждениях в сложности GI. По поводу вашего другого вопроса, обратите внимание, что если не будет многократного сокращения Тьюринга (или даже много-одного) с GI до GA, то P

NP.

\neq

$\neq$

— Джошуа Грохов

8

Кодзэно в своей статье Проблемы клики эквивалентно изоморфизм графов , дает доказательство того, что не является в . Следующее из бумаги: $GI$ $P$

«Тем не менее, вполне вероятно, что найти алгоритм полиномиального времени для изоморфизма графа будет так же сложно, как найти алгоритм полиномиального времени для NP-полной задачи. В поддержку этого утверждения мы даем задачу, эквивалентную изоморфизму графа, - небольшое возмущение из которых NP-полный. "

Также Бабай в своей недавней прорывной работе « Изоморфизм графов в квазиполиномиальное время» приводит аргумент против существования эффективных алгоритмов для GI. Он отмечает , что проблема группового изоморфизма (который сводится к Г) , является основным препятствием для размещения GI в . Проблема группы Изоморфизм (группы определяются их Кэли tableis) разрешима в , и не известно , чтобы быть в . $P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Вот выдержка из статьи Бабая:

Результат настоящей статьи усиливает значимость проблемы группового изоморфизма (и заявленной проблемы вызова) как барьера для помещения GI в P. Вполне возможно, что промежуточный статус GI (ни NP-полный, ни полиномиальное время) будет сохраняться.

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

2

Из лема Козена. 3 можно получить более простой пример этого явления: а именно, индуцированный изоморфизм подграфа (является ли

индуцированным подграфом в

) является точно GI, когда

, но NP-сложный, когда

для любого

H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ , Для дискретных параметров мы знаем, что в P есть проблемы, которые быстро становятся NP-полными (например, 2SAT против 3SAT). Знаете ли вы, есть ли примеры проблем в P с некоторым непрерывным параметром, которые становятся NP-полными при резком пороге? Если это так, то такого рода рассуждения не будут большим доказательством того, что Г.И. отсутствует в P, но я не могу придумать такой пример с головы до головы.

— Джошуа Грохов

2

@ JoshuaGrochow Нет, я не знаю ни о каких проблемах с таким решением. Но для задач оптимизации я знаю , что найти задание , удовлетворяющее

из пунктов находится в

, находя задание , удовлетворяющее из пунктов является -трудной даже для выполнимых 3SAT формул ( ).

7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

— Мохаммад Аль-Туркистани

К сожалению, ответ Климпеля уже содержит доказательства изоморфизма группы. В любом случае, полезно иметь точку зрения Бабая на этот счет.

— Мохаммед Аль-Туркистани

Бабаи отказался от требования квазиполиномиального времени выполнения . Видимо была ошибка в анализе.

— Рафаэль

5

вот другие результаты, которые еще не цитировались

О твердости изоморфизма графов / Torán FOCS 2000 и SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

Мы показываем, что проблема изоморфизма графов трудна при равномерном DLOGTIME редукции AC ⁰ many-one для классов сложности NL, PL (вероятностного логарифмического пространства) для каждого модульного класса логарифмического пространства Mod _k L и для класса DET задач NC ^1, сводимых к определитель. Это самые сильные из известных результатов твердости для задачи об изоморфизме графов, и они предполагают редуцированное рандомизированное логарифмическое пространство от задачи идеального соответствия к изоморфизму графов. Мы также исследуем результаты твердости для задачи автоморфизма графа.
Изоморфизм графов не сводим AC ⁰ к изоморфизму групп / Chattopadhyay, Toran, Wagner

Мы даем новую верхнюю границу для задач изоморфизма групп и квазигрупп, когда входные структуры заданы явно таблицами умножения. Мы показываем, что эти проблемы могут быть вычислены с помощью недетерминированных цепей полиномиального размера неограниченного разветвления с O (log log n) глубиной и O (log ² n) недетерминированных битов, где n - количество элементов группы. Это улучшает существующую верхнюю границу из [Wol94] для задач. В предыдущей верхней границе схемы имеют ограниченный веер, но глубину O (log ² n), а также O (log ² n) недетерминированных битов. Затем мы докажем, что вид схем из нашей верхней границы не может вычислить функцию четности. Так как паритет AC ⁰приводимый к изоморфизму графа, это означает, что изоморфизм графа строго сложнее, чем изоморфизм группы или квазигруппы в порядке, определяемом редукциями AC ⁰ .

— ВЗН
источник

4

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

о «сильнейших известных нижних оценках GI», ofc GI в NP, поэтому фактическое доказательство того, что GI не находится в P, эквивалентно P ≠ NP! (возможно через NPI ≠ ∅) ...

— vzn

4

Да, но, например, было бы неплохо знать, что G-P-hard! (Конечно, P-твердость очень мало связана с тем, чтобы показать, что что-то не в P, но это, по крайней мере, говорит о том, что GI не в NC!)

— Джошуа Грохов