Означает ли ширина дерева

Пусть $k$ фиксировано, и пусть $G$ (связный) граф. Если я не ошибаюсь, из работы Бодлендера [1, теорема 3.11] следует, что если ширина дерева $G$ примерно равна $2k^3$ , то $G$ содержит звезду $K_{1,k}$ в качестве минора.

Можем ли мы сделать срок $2k^3$ меньше? То есть, говорит ли ширина дерева, по крайней мере, $k$ уже подразумевает существование $K_{1,k}$ -минора? Есть ли где-нибудь доказательства?

[1] Bodlaender, HL (1993). На линейном времени второстепенные тесты с поиском по глубине. Журнал Алгоритмов, 14 (1), 1-23.

graph-theory treewidth graph-minor

— Юхо
источник

Слабосвязанный результат Демейна и Гаджиагайи : для фиксированного графа

H

$H$ любой

H

$H$ минорный граф с шириной дерева

w

$w$ имеет младший граф сетки

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$ .

— Мм

@mhum постоянная в

Ω

$\Omega$ экспоненциально зависит от

| H |

$|H|$ , так что непосредственное применение этого даст худшую оценку, чем

2 k^{3}

$2k^3$ .

— Даниелло

@daniello Это действительно так. Константа не очень хорошая, и специализация на

минорных графах также не велика. Я просто хотел указать на неопределенно связанный результат.

H

$H$

— Мм

Действительно, каждый граф без минора имеет ширину дерева не более . Мы докажем это ниже, сначала несколько определений: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

Пусть является древесная ширина из и & быть максимальный размер клики в . Граф является триангуляцией если является подграфом а хордовый (т. Е. Не имеет индуцированных циклов по крайней мере в вершинах). Триангуляцией из является минимальной триангуляции , если нет надлежащего подграф не является также триангуляция . Подмножество вершин группы $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

Из приведенной выше формулы следует, что для доказательства того, что достаточно доказать, что все потенциальные максимальные клики в имеют размер не более . Теперь докажем это. Пусть - потенциальная максимальная клика группы , и пусть . $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

Мы будем использовать следующую характеристику потенциальных максимальных клик: множество вершин является потенциальной максимальной кликой в если и только если для каждой пары , несмежных (различных) вершин в существует путь из в в со всеми его внутренними вершинами наружу из . Эту характеристику можно найти в статье Treewidth и Minimum Fill-in: группировка минимальных разделителей по Bouchitte и Todinca. $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

С этой характеристикой легко вывести минор из . Пусть . Для каждой вершины , либо является ребром или существует путь из в со всеми внутренними вершинами вне . Для всех , несмежных с все внутренние вершины в . В итоге мы получаем минор в котором смежна со всем , и $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ . Таким образом, степень в этом миноре составляет не менее , что завершает доказательство. $u$ $k$

— Даниелло
источник

Спасибо, Даниэль! Вы случайно не знаете, был ли опубликован тот же самый аргумент (или результат, действительно) где-то?

— Юхо

У меня нет ссылки, но я, кажется, помню, что где-то записан похожий (возможно, менее жесткий) аргумент для свободных графов . К сожалению, у меня нет более конкретного указателя.

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— Даниелло