Разве мы не можем вывести колмогоровскую сложность?

Давайте исправим кодирование без Трекинга машин Тьюринга и универсальную машину Тьюринга которая на входе (закодированный как код без префиксов последующим ) выводит все выходные данные на входе x (возможно, оба бегают вечно). Определим колмогоровскую сложность x , K (x) как длину самой короткой программы p такой, что U (p) = x .$U$$(T,x)$$T$$x$$T$$x$$x$$K(x)$$p$$U(p)=x$

Существует ли машина Тьюринга такая, что для каждого входа выводится целое числоэто отличается от колмогоровской сложности , т. е. но ?$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

Условия необходимы, потому что

(а) если $T(x)\not \le |x|$тогда было бы легко вывести число, которое тривиально отличается от $K(x)$ потому что оно больше, чем $|x|+c_U$ ,

(b) если $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ , то мы можем просто вывести $0$ (или некоторую другую константу) почти для всех чисел, «к счастью» угадав не более одного (конечное число), которые оцениваются в $0$ (в какую-то другую константу) и выводят туда что-то еще. Мы даже можем гарантировать $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$ , выводя что-то вроде $2\log n$ для $x=2^n$ .

Также обратите внимание, что наша работа была бы легкой, если бы мы знали, что $T(x)$ не сюръективна, но об этом мало что известно , поэтому ответ может зависеть от $U$ , хотя я сомневаюсь, что так и будет.

Я знаю, что отношения изучены в целом, но

Кто-нибудь когда-нибудь задавал подобный вопрос, где наша цель - дать алгоритм, который не выводит какой-либо параметр?

Моя мотивация - это проблема http://arxiv.org/abs/1302.1109 .

Вопрос можно перефразировать следующим образом: , и как указывает Денис в комментариях это неверно для некоторых кодировок. Вот более слабое утверждение и попытка его доказательства, которое не зависит от каких-либо деталей кодировки, но я для простоты предположу бинарный язык:$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

Пусть - вычислимая функция, удовлетворяющая и . Тогда . Неофициально, если вокруг колмогоровской сложности каждой строки есть цель, которая неограниченно растет, никакая вычислимая функция не может избежать ее попадания.T : { 0 , 1 } ∗ → N 0 ≤ T ( x ) ≤ | х | Лим Инф | х | → ∞ T ( x ) = ∞ lim inf | х | → ∞ | Т ( х ) - К ( х ) | < $T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

Чтобы увидеть это, пусть будет случайным битным числом, то есть и . Для всех такой случайный существует. Также отметим , что существует бесконечное число значений , для которых , это следует из условий , размещенных на . Теперь пусть будет наименьшей строкой такой, что . Ясно, что существует константа такая, что , потому что иn b 0 ≤ n < 2 b K ( n ) ≥ b b n b | { T ( x ) = b } | ≥ 2 b T x n th T ( x ) = b c 1 K ( x ) > b - c 1 K ( n ) ≥ b $n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$$T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$$K(n) \ge b$$n$может быть вычислено из . И существует константа такая, что , потому что также ограничена сверху только константой больше, чем , и может быть вычислено из . Тогда , и у нас есть бесконечное число вариантов для (те, у которых прообраз кардинальности не менее ), что дает бесконечное число значений для , так что мы сделали.x c 2 K ( x ) < b + c 2 K ( n ) b x n | К ( х ) - Т ( х ) | < c 1 + c 2 b 2 b$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$$K(n)$$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

Подразумевается, что для некоторых , бесконечно часто. Так что можно сказать, что мы не можем не выводить что-то, что не является колмогоровской сложностью!c ∈ Z T ( x ) = K ( x ) + $c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

Я думаю, что следующие работы. Я буду использовать C ( x ) для сложности Колмогорова$C(x)$

• Дайте U временную границу t (скажем, некоторую экспоненциальную функцию длины входной программы) и назовите результат U t . Если программа превышает ограничение по времени, U t входит в бесконечный цикл.$U$$t$$U^t$$U^t$
• Пусть C t ( x ) - самая короткая программа для x на t . Обратите внимание, что C t вычислимо.$C^t(x)$$x$$t$$C^t$
• Пусть T ( x ) возвращает C t ( x ) + 1 , если только это значение не равно | х | в этом случае верните 0. Если x не является выводом пустой программы, в этом случае верните 1.$T(x)$$C^t(x) + 1$$|x|$$x$
• Поскольку C ( x ) ≤ C t ( x ) , T ( x ) всегда будет отличаться от C ( x ) . Логика предыдущего шага заботится о крайних случаях.$C(x) \leq C^t(x)$$T(x)$$C(x)$
• U t функционирует как код для всех строк, поэтому он имеет ограничение на бесконечность.$U^t$