Является ли колмогоровская сложность сюръективной функцией?

Давайте исправим кодировку машин Тьюринга и универсальной машины Тьюринга U, которая на входе (T, x) выводит все выходные данные T на входе x (возможно, оба работают вечно). Определим колмогоровскую сложность x, K (x) как длину самой короткой программы p, такой, что U (p) = x.

Существует ли N такое, что для всех n> N существует x с K (x) = n?

Замечание. Если мы определим универсальные машины Тьюринга по-другому, ответ может быть отрицательным. Например, рассмотрим U, который на входе (T, x) имитирует T на x, если длина (T, x) делится на 100, а в противном случае ничего не делает. Можно изменить этот пример несколькими способами, чтобы получить контрпримеры для различных определений универсальных машин Тьюринга.

Просто расширенный комментарий без глубокого понимания: возможно, вы можете обмануть кодирование машины Тьюринга и создать искусственное кодирование, которое приведет к сюръективной колмогоровской сложности:

• $0$ представляет машину Тьюринга, которая выводит $0$ (1 состояние ТМ);
• $0p$ представляет машину Тьюринга, которая выводит $p+1$ (число, представленное двоичной строкой $p$плюс один); это просто неявная «молниеносная» версия разрешимой ТМ, которая выводит$p+1$;
• $1p$ представляет $p+1$ая машина Тьюринга в стандартном перечислении (перечисление может пропускать ТМ, уже включенные в $0$ а также $0p$).

Соответствующая универсальная ТМ на входе $bx$ проверяет, какова стоимость $b$, если это $0$ тогда это просто выводит $x+1$иначе имитирует ТМ $M_{x+1}$ ($M_0$ когда $x$пустая строка); Обратите внимание, что$M_{x+1}$ встраивает входы.

Для всех строк $x$, $1 \leq K(x) \leq |x|+1$; и для всех$n \geq 1$ есть $2^{n}$ строки длины $n$ но есть только $2^{n-1}-1$ программы длины $< n$ которые могут быть представлены с помощью $1p$кодирующий; и только$2^{n}-1$ программы длины $n$ которые могут быть представлены с помощью $1p$кодирующий; так хоть строка$x'$ длины $n$ не может быть представлен программой $1p$ длины $\leq n$; но это, безусловно, можно представить с помощью программы$0x'$ длины $n+1$ (мы не беспокоимся, если есть также программа $1p$ одинаковой длины $n+1$ это порождает это).

Мы можем сделать вывод, что для всех $n > 1$существует строка $x', |x'|=n$ такой, что $K(x') = n+1$ (так что этот конкретный K сюръективен).