Доказательство сложности Колмогорова неисчислимо, используя сокращения

Я ищу доказательство того, что колмогоровская сложность невычислима, используя редукцию из другой невычислимой задачи. Общим доказательством является скорее формализация парадокса Берри, чем сокращение, но должно быть доказательство путем сокращения из чего-то вроде проблемы остановки или проблемы корреспонденции по почте.

Вы можете найти два разных доказательства в:

Грегори Дж. Чайтин, Асат Арсланов, Кристиан Калуде: Сложность размера программы вычисляет проблему остановки. Бюллетень EATCS 57 (1995)

В Ли, Мин, Витаньи, Пол MB; Введение в колмогоровскую сложность и ее приложения представлены в качестве упражнения (с подсказкой о том, как ее решить, что зачислено П. Гачу В. Гасархом в личном сообщении 13 февраля 1992 г.).

** Я решил опубликовать расширенную версию этого в своем блоге .

Это был забавный вопрос для размышления. Как описано в другом ответе и комментариях ниже, существует редукция Тьюринга от задачи Остановки к вычислению колмогоровской сложности, но, в частности, такого сокращения много-один, по крайней мере, для одного определения «вычисления колмогоровской сложности» не существует.

Давайте формально определим, о чем мы говорим. Пусть обозначает стандартный язык ТМ, которые останавливаются при описании их самих в качестве входных данных. Пусть обозначим .$HALT$$KO$$\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$

Предположим, что путем некоторого сокращения много один. Пусть обозначает функцию, которую вычисляет эта редукция. Рассмотрим изображение под , которое я обозначу .$HALT \le KO$$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$$HALT$$f$$f(HALT)$

Заметьте, что состоит из строк вида где имеет колмогоровскую сложность ровно . Я утверждаю, что , которые встречаются в не ограничены, поскольку существует только конечное число строк с колмогоровской сложностью ровно , а бесконечно.$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$x$$k$$k$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$

Так как рекурсивно перечислим (в некоторых книгах он распознается по Тьюрингу), отсюда следует, что рекурсивно перечислим. В сочетании с тем фактом, что не ограничены, мы можем перечислять пока не найдем некоторый с настолько большим, насколько мы хотим; то есть существует TM который на входе выводит некоторый элемент .$HALT$$f(HALT)$$k$$f(HALT)$$\langle x,k\rangle$$k$$M$$k$$\langle x,k \rangle \in f(HALT)$

Напишите новый TM который выполняет следующее: сначала вычислитеиспользуя теорему Клини о рекурсии. Запросите с помощью ввода чтобы получить . Выход .$M'$$|M'|$$M$$|M'|+1$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$$x$

Ясно, что на выходе из есть строка с колмогоровской сложностью не болеено что является противоречием.$x$$M'$$|M'|$$\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$

Я полагаю, что вы также можете заменить в задаче «Колмогоровская сложность ровно » на «Колмогоровская сложность не менее » с небольшими изменениями.$k$$k$