Известна ли сложность этой проблемы покрытия?

Позволять $G=(V,E)$ быть графом Набор вершин $X\subseteq V$ называется критическим, если $X\neq\emptyset$ и нет вершины в $V\setminus X$ смежна ровно с одной вершиной в $X$ , Проблема состоит в том, чтобы найти множество вершин $S\subseteq V$ минимального размера, такого что $S\cap X\neq\emptyset$ для каждого критического набора $X$ ,

Эта проблема имеет следующую распространяющуюся по слухам интерпретацию: Vertex $i$ распространяет слух своему соседу $j$ если и только если все остальные соседи $i$ уже проинформированы. Тогда возникает вопрос, сколько вершин мне нужно сообщить на начальном этапе, чтобы в конце все были проинформированы.

— Томас Калиновский
источник

Это имеет довольно простое решение, поэтому, возможно, проблема имеет больше условий, чем указано; игнорируя особый случай

X = V

$X=V$ и если

G

$G$ связан, каждая вершина

v

$v$ со степенью

> 1

$>1$ имеет критический набор

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$ связан с ним, поэтому в нем могут быть только соседи исключительно вершин deg 1

S

$S$ , Если такая вершина существует, то

G

$G$ является звездным графом и его центр (как синглтон) является единственным минимальным

S

$S$ , Если

G

$G$ не подключен, то посмотрите на каждый подключенный компонент.

— Джо Бебель

Для звезды

K_{1, n}

$K_{1,n}$ с

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$ листья, каждый набор из двух листьев имеет решающее значение, и поэтому оптимальное решение состоит в том, чтобы взять

n - 1

$n-1$ листья.

— Томас Калиновский

О, я вижу свою ошибочную интерпретацию

— Джо Бебель

Очень интересный вопрос, один небольшой спор: вы, вероятно, хотите, чтобы ваши критические наборы были непустыми (в противном случае нет

S

$S$ ).

— Клаус Дрегер

@JoeBebel: проблема решения "Есть ли набор решений

S

$S$ размером не более

K

$K$ ? »в NP. Вы можете проверить, есть ли набор

S

$S$ является решением по следующему алгоритму. Пока есть вершина

v \in S

$v\in S$ который имеет именно на соседа

w

$w$ снаружи

S

$S$ , Добавить

w

$w$ в

S

$S$ , Если

S

$S$ в конечном итоге содержит все вершины, тогда ваш начальный набор был решением, в противном случае вы застряли, и дополнение к окончательному набору является критическим, поэтому начальный набор

S

$S$ не было решением.

— Томас Калиновский

Проблема известна как проблема распространения . Азами доказал в своей докторской диссертации, что взвешенная версия является NP-полной, даже когда график плоский, а веса узлов находятся в $\{0,1\}$ , Сложность для невзвешенной версии кажется открытой проблемой.

— Томас Калиновский
источник