Тестирование свойств для независимых наборов

Предположим, нам дан график и параметры . Существуют ли диапазоны значений для (или это выполнимо для всех ), для которых можно проверить, является ли -far из-за наличия независимого набора размера по крайней мере во времени ?$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

Если мы используем обычное понятие -far (т. Е. Для получения такого множества потребуется изменить не более ребер), то проблема тривиальна для . Так$\epsilon$$\epsilon n^2$$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• Кажется, что если больше, некоторые идеи выборки должны работать для решения проблемы. Это правда ?$k$
• Существуют ли другие понятия -far (т. Е., Может быть, ребер вместо), при которых имеются нетривиальные результаты?$\epsilon$$\epsilon |E|$

Я в основном ищу ссылки на данный момент.

Эта проблема действительно была изучена. Голдрайх, Голдвассер и Рон изучили его в своей оригинальной статье, которая начала тестирование свойств графа, а затем Фейге, Лангберг и Шехтман также получили результаты по этому вопросу в своей статье FOCS '02 «Графики с крошечными векторными хроматическими числами и огромными хроматическими числами» ,

В частности, [FLS '02] показывают, что можно отличить графы с независимым набором размера от графов -far от таковых (то есть для создания таких ребер необходимо удалить как минимум ребра независимый набор), выбрав случайный подграф, индуцированный случайными вершинами в графе, и проверив, имеет ли случайный подграф независимый набор размера или не. ([GGR '98] показал более слабую оценку of .) [FLS '02] также показывает нижнюю оценку of .$\rho n$$\epsilon$$\epsilon n^2$$s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$$\rho s$$s$$\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$$s$$\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

Еще одно естественное определение $\epsilon$-приближается к независимому набору меняется $\epsilon k^2$кромки. К сожалению, с таким определением тестирование свойств не представляется возможным за полиномиальное время. Причина в том, что никто не знает, как найти установленную клику (и подобный независимый набор)$o(\sqrt{n})$ вершины в случайном графе $n$ вершины быстрее, чем $n^{O(\log n)}$время. Можно показать, что подграф, который немного плотнее среднего, можно использовать для нахождения посаженной клики за полиномиальное время. Это доказательство того, что для этого варианта вашей задачи существует алгоритм с полиномиальным временем$k$ между $\log n$ а также $\sqrt{n}$,

Справка: Фейге и Краутгамер. Нахождение и сертификация большой скрытой клики в полуслучайном графе, 1999.