Я собираюсь разработать мои комментарии в ответ. Истоки теории предикативных типов почти так же стары, как и сама теория типов, поскольку одной из мотивов Рассела было запретить «круговые» определения, которые были определены как часть источника противоречий и парадоксов XIX века. Тьерри Кокванд дает просвещенный обзор здесь . В этой теории предикаты над «уровнем» или типом относятся к типам «следующего» уровня, где существует бесконечное (счетное) количество уровней.
В то время как предикативная иерархия Рассела была (по-видимому) достаточной, чтобы игнорировать известные парадоксы, оказалось, что ее очень трудно использовать в качестве основополагающей системы. В частности, определить даже что-то столь же простое, как реальная система счисления, было чрезвычайно сложно, и поэтому Рассел постулировал аксиому, аксиому редуцируемости, которая постулировала, что все уровни были «сведены» к одному. Излишне говорить, что это не было удовлетворительным развитием.
Однако, вопреки «вредным» непредсказуемым утверждениям (таким как неограниченное понимание), эта аксиома, похоже, не вносила каких-либо противоречий. Последующие формулировки основополагающих теорий ( теории простого типа , теория Цермели множества ) приняли их оптом, делая семью предикатов (квантификации по , возможно , всю вселенную множеств), предикаты на тот же уровень.
Приблизительно в 1971 году Мартин-Лёф представил зависимую теорию типов, в которой Type : Typeсправедлив и этот принцип, и дальнейшая аксиома . Эта система оказалась непоследовательной по тонким причинам: наивный парадокс Рассела не может быть воспроизведен (прямым способом), но, тем не менее, умная кодировка позволяет найти противоречие. Это вызвало кризис веры, подобный кризису Рассела, в результате чего появилась теория предикативного типа с вселенными, которые мы знаем и любим.
Есть способ исправить теорию, чтобы допустить «невинную» непредсказуемость в виде теории множеств Цермело, в результате чего появились теории типов, такие как исчисление конструкций, но ущерб был нанесен, и «шведская школа» теории типов имеет тенденцию отклонять непредсказуемость.
Несколько моментов:
Какое это имеет отношение к интуиционистской математике? Ответ не очень. На рубеже XX века математики, как правило, связывали использование циркулярных / импредикативных принципов с неконструктивным рассуждением (интуиция заключается в том, что импредикативное рассуждение предполагает уже существующую математическую вселенную, как и использование исключенного среднего). Тем не менее, есть совершенно интуиционистская непредикативных теория (как IZF ). Люди, интересующиеся интуиционизмом, по-прежнему склонны интересоваться предикативизмом по какой-то причине (конечно, я виноват в этом).
Что вы можете сделать в предикативной математике? Как указывает Мартин в своем ответе, Герман Вейль (не путать с Андре Вейлем) начал программу, которая пыталась исследовать выразительную силу предикативных систем, взяв за отправную точку то, что предикативные системы имели выразительную силу между арифметикой Пеано и Вторым Порядком. Арифметика , которая в значительной степени согласуется с тем, что по большинству стандартов она является непредсказуемой (и сравнима с Системой F на стороне теории типов). Позднее эту программу назвали «обратной математикой», поскольку она пыталась классифицировать силу известных математических теорем в терминах аксиом, необходимых для их доказательства (обратный подход к обычному подходу). страница википедии дает хороший обзор; Программа была довольно успешной, так как большую часть математики XIX века можно легко разместить в очень слабых системах. До сих пор остается открытым вопрос, может ли эта программа масштабироваться до более поздних результатов, скажем, в теории более высоких категорий (подозрение заключается в том, что ответ «да, с большими усилиями»).