Веселье с обратным Аккерманом

Обратная функция Аккермана часто встречается при анализе алгоритмов. Отличная презентация здесь: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

Мой вопрос: что такое функция

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ Очевидно, что

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ . Какие более узкие границы можно дать для

k (n)

$k(n)$ ? Является ли

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$ ?

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— Дана Мошковиц
источник

Я знаю, почему , но не могли бы вы объяснить, почему ?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

— Jbapple

Хорошо, отредактированный к бесспорной .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

— Дана Мошковиц

@DanaMoshkovitz: Я приблизил определения, используя иерархию Аккермана, с которой я знаком: и . С типичным определением функций Аккермана, . Следовательно, если то , т.е. . (Надеюсь, я там не ошибся.)

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

— Сильвен

@DanaMoshkovitz: чтобы уточнить, я использую и , который растет немного быстрее, чем ваше определение, например, вместо . Это не должно иметь большого значения, хотя: и - одно и то же.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

— Сильвен

@DanaMoshkovitz: я не понимаю, почему . Для бесконечного числа значений вы будете иметь , то есть всякий раз, когда ; поскольку быстро растет, у вас будет больше и больше таких последовательностей. С вашими определениями можно даже иметь : следовательно, но .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— Сильвен

Ответы:

Пусть будет обратным к . . Я утверждаю, что . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

Поскольку и так как , . В результате . $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

Теперь рассмотрим значение . По определению это . Мы знаем, что , поэтому . Я утверждаю, что . . Теперь , поэтому . Поскольку , , поэтому . Таким образом, $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ ,

Итак, мы имеем , поэтому и по существу равны. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
источник

И позвольте мне добавить, что все эти функции являются просто разными сложными способами написания числа 4.

— Сариэль Хар-Пелед

Это неверно; смотрите комментарии.

Функция, очень близкая к этой, называлась « » и использовалась в « Петровых деревьях», «Последовательностях Давенпорта-Шинзеля » и « Гипотезе Deque» Петти , в которых он показал, что « deque-операций [в дереве splay] принимают только время, где - минимальное количество применений функции обратного Аккермана, отображающей в константу. " $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

Эта функция очень медленно растет и медленнее, чем . Рассмотрим функцию $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

Эта функция растет примерно так же быстро, как , поэтому она растет медленнее, чем . Теперь я оценю и для : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~Поскольку , растет намного быстрее, чем . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
источник

Какова связь между альфа ^ * и к (п)? (обратите внимание, что в определении k (n) я использую обозначение alpha_k (n), определенное в ссылке, которая была у меня в вопросе)

— Дана Мошковиц

О, прости, я прочитал твой как !

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— Jbapple