Известно ли, что существуют функции со следующим свойством прямой суммы?

Этот вопрос может быть задан либо в рамках сложности схем булевых схем, либо в рамках теории алгебраической сложности, либо, вероятно, во многих других ситуациях. Подсчитав аргументы, легко показать, что на N входах существуют булевы функции, для которых требуется экспоненциально много гейтов (хотя, конечно, у нас нет явных примеров). Предположим, что я хочу оценить одну и ту же функцию M раз для некоторого целого числа M на M различных наборах входов, так что общее количество входов равно MN. То есть, мы просто хотим , чтобы оценить для однойтой же функцииFв каждый момент времени.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

Вопрос заключается в следующем: известно ли, что существует последовательность функций (одна функция для каждого N), такая, что для любого N, для любого M общее количество требуемых вентилей, по крайней мере, равно M, умноженному на экспоненциальную функцию N? Кажется, простой аргумент подсчета не работает, поскольку мы хотим, чтобы этот результат был справедлив для всех М. Можно придумать простые аналоги этого вопроса в теории алгебраической сложности и других областях.$f$

Что ж, это неверно: можно оценить M копий ЛЮБОГО f, используя только O (N (M + 2 ^ N)) вентилей, которые могут быть намного меньше, чем M * exp (N) (фактически, вы получаете линейную амортизацию сложность для экспоненциального M). Я не помню ссылку, но думаю, что она может выглядеть примерно так:

Сначала добавьте 2 ^ N фиктивных входных данных, которые являются просто константами 0 ... 2 ^ N-1, и теперь обозначим i-й N-битный вход через xi (поэтому для i <= 2 ^ N мы имеем xi = i, а для 2 ^ N <я <= 2 ^ N + M у нас есть оригинальные входы). Теперь мы создадим триплет для каждого из входов M + 2 ^ N: (i, xi, fi) где fi - это f (i) для первых 2 ^ N входов (постоянная, встроенная в схему) и fi = "*" в противном случае. Теперь мы сортируем триплеты (i, xi, fi) по ключу xi, и пусть j-й триплет будет (i_j, x_j, f_j) из этого, мы вычисляем триплет (i_j, x_j, g_j), позволяя g_j быть f_j, если f_j не является "*", и пусть g_j будет g_ (j-1) в противном случае. Теперь отсортируйте новые триплеты обратно по ключу i_j, и вы получите правильные ответы в правильных местах.

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

«Сети, вычисляющие логические функции для нескольких входных значений»

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Я не могу найти в интернете неоткрытую копию или домашнюю страницу для автора, но я наткнулся на статью в этом процессе:

Сложность булевой функции (серия лекций Лондонского математического общества)

Что касается алгебраической сложности, я не знаю примера, в котором экспоненциальная сложность сводится к субэкспоненциальной амортизированной сложности, но, по крайней мере, есть простой пример того, что сложность M непересекающихся копий может быть значительно меньше, чем M раз сложности одной копии. :

Для «случайной» n * n матрицы A сложность билинейной формы, определенной как A, (функция f_A (x, y) = xAy, где x и y - 2 вектора длины n) равна Omega (n ^ 2 ) - это может быть показано аргументом измерения «как в подсчете», так как вам нужно n ^ 2 «мест» в схеме для помещения констант. Однако, учитывая n различных пар векторов (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), вы можете поместить x в строки n * n матрицы X, и аналогично y в столбцы матрицы Y, а затем прочитайте все ответы x ^ iAy ^ i с диагонали XAY, где это вычисляется в n ^ 2.3 (или около того) операциях с использованием быстрого умножения матриц, значительно меньше, чем n * n ^ 2.

Это было изучено и решено Вольфгангом Полом, который показал, по существу, то, что обсуждается.