Сравнение колмогоровской сложности теорий

Теорема Чайтена о неполноте говорит, что никакая достаточно сильная теория арифметики не может доказать где K ( s ) - колмогоровская сложность строки s, а L - достаточно большая постоянная. L является достаточно большим , если он больше , чем размер в битах пробной проверки машины (PCM). РСМ для теории T принимает строку , закодированную как целое число в качестве входных данных и выводит 1 , если строка является допустимым доказательством на языке T .$K(s) > L$$K(s)$$s$$L$$L$$T$$T$

Предположим, что для теории Т представляет собой верхний предел для сложности T . Рассмотрим следующую иерархию теорий: пусть базовая теория будет арифметикой Робинсона ( Q ). Дополнение Q все более сильными аксиомами полиномиальной ограниченной индукции. Пусть Q ∗ - теория теорем, доказуемых с помощью Q, и любая из этих ограниченных аксиом индукции. Предположим, мы можем определить L ( Q ) и L ( Q $L(T) > |PCM_T|$$T$$T$$Q$$Q$$Q^*$$Q$$L(Q)$ путем определения PCM для каждой теории.$L({Q^*})$

Я хочу рассмотреть усовершенствованную машину проверки корректности (EPCM) для . Этот EPCM принимает строку в качестве входных данных точно так же, как ECM, и имеет второй вход, который определяет ранг и уровень под-теории Q ∗ . Если входная строка является действительным доказательством в Q ∗, EPCM проходит через этапы доказательства, чтобы определить самый высокий ранг и уровень используемой индукции. Затем этот EPCM записывает 1, если входное предложение является действительным доказательством в указанной под-теории Q ∗ .$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$

Реализована ли улучшенная проверка корректности, которую я описываю? Если это так, будет ли размер этого EPCM верхним пределом не только для сложности , но также и верхним пределом сложности любой под-теории Q ∗ ?$Q^*$$Q^*$

Разумно ли говорить, что существует постоянная верхняя оценка сложности и всех его подтеорий?$Q^*$

---

Этот вопрос был вдохновлен несостоятельным доказательством Нельсона несостоятельности арифметики. Я не говорил об этом раньше, потому что некоторые люди находят это доказательство тревожным. Моя мотивация - задать интересный вопрос. CSTheory, кажется, правильный форум для этого вопроса. Сложность и всех его подтеорий либо ограничена константой, либо не ограничена. Любой ответ приводит к большему количеству вопросов.$Q^*$

Если сложность под-теорий не ограничена, мы можем задавать вопросы, например, что является самой слабой под-теорией в $Q^*$ более сложной, чем ? Или сложнее, чем PA и ZFC? Размышление над этим вопросом уже показало мне, что существует серьезное ограничение на то, сколько теория может доказать о колмогоровской сложности струн. Если Q ∗ согласовано, то ни одна из его подтеорий не может доказать K ( s ) > L ( Q ∗ ) для любой строки. Это означает, что даже действительно сильные под-теории не могут доказать, что есть более сложные строки, чем некоторые более слабые под-теории, где более слабая теория более сложна, чем $Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

Я постараюсь дать ответ на этот вопрос и постараюсь прояснить некоторую путаницу относительно точной формы вопроса.

Первое , что я хочу сделать: в утверждении постоянной Чайтину, действительно , функция Т . В абсолютном смысле он монотонен в выраженности T : если L ( T ) - наименьшее натуральное число, для которого T ⊬ K ( s ) T ′ ) ≥ L ( T ) . Аргумент очень прост: если существует$L$$T$$T$$L(T)$ для любой строки s , то если T ′ является непротиворечивой теорией сильнее, чем T ( T ⊢ φ подразумевает T

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$ для любого арифметического предложения φ ), тогда L ( s , для которого T ⊢ K ( s ) ≥ L, то T ′ ⊢ K ( s ) ≥ L по условию.$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

Однако это верно только в том случае, если является абсолютной постоянной Хайтина. В частности, если T ′ доказывает C o n ( T ) , то T ′ ⊢ ∃ L ∀ s ⌈ T ⊬ K ( ¯ $L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

усваивая аргумент Чейтина. Тем не менее , конкретный для которого$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

в общем случае не будет равен $L(T)$ . В частности, оно может быть намного больше, обычно пропорциональноразмеру доказательства$\mathrm{Con}(T)$ в $T'$ . Это можно легко увидеть в доказательстве самой теоремы, которая в решающей степени опирается на непротиворечивости .$T$

Таким образом, хотя может доказать непротиворечивость системы с ограниченной индукцией, длина этих доказательств тем больше, чем ближе вы подходите к Q $Q^*$$Q^*$ выразительности (один из способов понять теоремы неполноты состоит в том, что длина становится бесконечной, когда вы достигаете , таким образом, он не имеет конечного доказательства согласованности в самом Q ∗ ). Таким образом, то же самое относится к различным верхним оценкам на внутренних L ( T ) s Q ∗, которые можно описать для каждой под-теории.$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

Итак, вот краткий ответ на ваш вопрос: ограничено равномерно для всех подтеорий Q ∗ , но сам Q ∗ не может показать, что эта оценка верна для всех таких подтеорий . Это была решающая ошибка, которую сделал Нельсон (похороненный под несколькими слоями формализма), и на которую Тао указал здесь .$L(T)$$Q^*$$Q^*$