Время покрытия ориентированных графов

При случайном блуждании на графике время покрытия - это первый раз (ожидаемое количество шагов), когда каждая вершина была поражена (покрыта) блужданием. Известно, что для связных неориентированных графов время накрытия ограничено сверху . Существуют сильно связанные орграфы с показателем времени покрытия по . Примером этого является орграф, состоящий из направленного цикла и ребер из вершин . Начиная с вершины , ожидаемое время случайного блуждания для достижения вершины равно . У меня есть два вопроса:п ( 1 , 2 , . . . , П , 1 ) ( J , 1 ) J = 2 , . , , , n - 1 1 n Ω ( 2 n$O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) Каковы известные классы ориентированных графов с полиномиальным накрытием времени? Эти классы могут характеризоваться теоретико-графическими свойствами (или) свойствами соответствующей матрицы смежности (скажем, ). Например, если симметрична, то время покрытия графа является полиномиальным.$A$$A$

2) Существуют ли более простые примеры (такие как пример цикла, упомянутый выше), где время покрытия экспоненциально?

3) Есть ли примеры с квазиполиномиальным временем покрытия?

Буду признателен за любые ссылки на хорошие обзоры / книги по этой теме.

Ясно, что полиномиальное время смешивания подразумевает полиномиальное время покрытия. (Ну, не в общем. Нам нужна стационарная вероятность, по крайней мере, в каждой вершине.) Так что проверьте статью Михаила Кондуктивность и сходимость цепей Маркова - комбинаторная обработка расширителей, которая доказывает быстрое смешивание регулярных ориентированных графов и общие цепи Маркова на основе проводимости.$1/poly(n)$

Также см. Статью «Псевдослучайные прогулки по регулярным орграфам и проблема RL против L » Рейнгольда, Тревизана и Вадхана. После работы Михаила. Они определили параметр который эквивалентен , второму по величине собственному значению по абсолютной величине, когда граф обратим во времени и остается хорошо определенным для общих цепей Маркова. Этот параметр затем используется для связанного времени перемешивания в .λ 2 ( G ) G $\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Колин Купер и Алан Фриз имеют ряд результатов в контексте случайных орграфов, которые могут представлять интерес. Они изучают свойства простого случайного блуждания по случайному ориентированному графу когда . Они доказали, что: n p = d log n , d > $D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• При время покрытия асимптотически равно . Если с , время покрытия асимптотически равно .D n , p d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n d = d ( n ) → ∞ n n log $d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• Если и то whp .д > 1 С С п , р ~ д лог ( д / ( д - 1 ) ) п войти $p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• Пусть и пусть обозначает решение в из . Пусть - гигантская компонента . Тогда whp .х ( 0 , 1 ) х = 1 - е - д х Х г О п , р , р = д / п С Й г ~ д х ( 2 - х $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• Если является константой, а обозначает случайный регулярный граф на множестве вершин с то whp .G n , r r [ n ] r ≥ 3 C G n , r ∼ r - $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• Если является константой, а обозначает граф предпочтительного вложения в среднем степени то whp .G м 2 м С С м ~ 2 $m \geq 2$$G_m$$2m$$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• Если и - случайный геометрический граф в размера шара, такой, что ожидаемая степень вершины асимптотична , то whp .G r , k R k r d log n C G r , k ∼ d log ( $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

См. Купер, С. & Фриз, А. Стационарное распределение и время случайных блужданий на случайных орграфах. Журнал комбинаторной теории, Серия B. (2011).