Применение топологии в информатике


61

Я хотел бы написать обзор по применению топологии в информатике. Я планирую осветить историю топологических идей в области компьютерных наук, а также выделить несколько текущих событий. Было бы чрезвычайно полезно, если бы кто-то мог дать вклад по любому из вопросов ниже.

  1. Существуют ли какие-либо статьи или заметки, описывающие хронологию использования топологии в информатике?

  2. Каковы наиболее важные приложения результатов в топологии для компьютерных наук?

  3. Каковы наиболее интересные области текущей работы, которые используют топологию, чтобы получить представление о вычислениях?

Спасибо!


8
Несколько ответов на этот другой вопрос актуальны здесь: cstheory.stackexchange.com/questions/1920/…
Джошуа

1
как насчет работы над алгоритмами для вычисления топологических объектов или использования топологических конструкций для моделирования данных? это считается?
Суреш Венкат

7
Это будет длинный опрос.
Джеффс

2
Вам удалось? Ссылка на ваш опрос будет оценена!
Тарк

Это сообщение о симпатичном применении топологии к программированию: math.andrej.com/2007/09/28/…
Холден Ли

Ответы:


33

Лично я думаю, что наиболее интересным применением топологии была работа, выполненная Херлихи и Шавитом. Они использовали алгебраическую топологию для характеристики асинхронных распределенных вычислений, дали новые доказательства важных известных результатов и устранили ряд давних открытых проблем. За эту работу они выиграли приз Годеля 2004 года.

«Топологическая структура асинхронных вычислений» Мориса Херлихи и Нира Шавита, журнал ACM, Vol. 46 (1999), 858-923,


5
"Самое интересное" ? теперь они борются за слова! :)
Суреш Венкат

28

Топология - это такая зрелая дисциплина с различными подполями, включая геометрическую, алгебраическую, метрическую, точечную и (самоуничижительную) бессмысленную топологию. Информатика также довольно обширна и имеет много математических подразделов, поэтому я ожидаю много приложений топологических идей в CS. Маршалл Стоун сказал, что «всегда топологизируй», и ученые-компьютерщики с необходимым опытом часто имеют. Хватит бла. Несколько примеров.

Эти примеры - не просто сложные задачи CS, решаемые топологией. Иногда топологическое понятие очень хорошо переносится в настройку CS или дает основу для подобласти CS.

  1. Теорема компактности пропозициональной логики является следствием теоремы Тихонова. Компактность для логики первого порядка обычно доказывается по-разному. Компактность является важным инструментом в классической теории моделей.

  2. Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр связывает модели логики высказываний, булевых алгебр и некоторых топологических пространств. Результаты двойственности типа камня были получены для структур, используемых в алгебраической логике и семантике языка программирования.

  3. Ник Пиппенгер применил теорему Стоуна к булевой алгебре регулярных языков и использовал топологию для доказательства нескольких фактов о регулярных языках. См. Комментарий Жан-Эрика Пина для более поздней работы над топологией в теории языка.

  4. В формальных методах существуют понятия безопасности и жизнедеятельности. Каждое свойство линейного времени может быть выражено как пересечение свойства безопасности и живучести. Доказательство использует элементарную топологию.

  5. Мартин Эскардо разработал алгоритмы и написал программы для поиска бесконечных множеств. Я считаю, что компактность является ключевым компонентом этой работы.

  6. Работа польских топологов (таких как Куратовский) дала нам операторы замыкания. Операторы замыкания на решетках являются важной частью теории абстрактной интерпретации, которая лежит в основе статического анализа программ.

  7. Операторы замыкания и другие топологические идеи являются основой математической морфологии.

  8. Понятие внутренних операторов также из польской школы важно для аксиоматизации модальной логики.

  9. Многие компьютерные науки основаны на графических структурах. В некоторых приложениях требуются более богатые представления о связности и потоках, чем те, которые предусмотрены графами и топологией. Это естественный следующий шаг. Это мое прочтение многомерных автоматов ван Глаббека в теории параллелизма и применение геометрической топологии Эриком Губо к семантике параллельных программ.

  10. Возможно, приложение, которое получает наибольшее количество прессы, - это приложение топологии (изначально алгебраическое, хотя также существует больше комбинаторных представлений) для характеристики определенных сценариев отказоустойчивости в распределенных вычислениях. В дополнение к Херлихи и Шавиту, упомянутым выше, Боровский и Гафни, а также Сакс и Захароглу также высказались за первый такой прорыв. Структура асинхронной вычислимости дала больше таких результатов.

  11. Теорема Брауэра о неподвижной точке породила несколько проблем, которые мы изучаем. В последнее время в исследовании алгоритмической теории игр, класс сложности PPAD и класс сложности FixP задач с фиксированной точкой.

  12. Теорема Борсука-Улама имеет несколько приложений для графов и метрических вложений. Они описаны в книге Иржи Матушека.

Это скудный выбор на то, что там. Удачи!


Какой отличный список!
Дейв Кларк,

24

Теория предметной области имеет высокую топологическую природу и, скорее, является одноразовым применением топологии, но в большей или меньшей степени является ее собственным подполем топологии. Его применение в денотационной семантике языков программирования, особенно функциональных, безусловно, является одним из наиболее важных приложений топологии в информатике. Значения (включая функции) задаются семантикой в ​​терминах DCPO (направленные-полные частичные порядки) или некоторой такой структуры. В этой настройке можно решить уравнения рекурсивной области, такие как , предоставляя семантику таким животным, как нетипизированныйλD[DD]λ-исчисление. Семантика в основном основана на понятии приближения, заданном порядком, и решении уравнений с наименьшей неподвижной точкой, и решения, как правило, гарантированно существуют.

От денотационной семантики вытекают связи с абстрактной интерпретацией, анализом и верификацией программ.

Текущее исследование включает обеспечение денотационной семантики для параллелизма и для квантовых языков.

Абрамский и Юнг дают хороший обзор основных идей: теория доменов .


18

Оценки числа связанных компонент и, в более общем случае, чисел Бетти, полуалгебраических многообразий и расположений гиперплоскостей (и их дополнений) были использованы для нескольких нижних оценок алгебраических вычислений и деревьев решений. Для нескольких больших ссылок смотрите:

Майкл Бен-Ор, Нижние оценки для деревьев алгебраических вычислений, STOC 1983, с. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Сложность дерева решений и числа Бетти, J. Comput. System Sci. 55 (1997), нет. 1, часть 1, 36-43 (STOC 1994).

Андерс Бьорнер и Ласло Ловаш. Линейные деревья решений, подпространственные схемы и функции Мёбиуса, J. ​​Amer. Математика Soc. 7 (1994), нет. 3, 677-706.


В другом, но несколько связанном ключе Смейл использовал топологию довольно интересным образом (в частности, когомологии группы кос), чтобы понизить границу сложности поиска корней в модели Блюма-Шуб-Смейла:

Смейл, С. О топологии алгоритмов, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.


Эти ссылки кажутся относительно старыми. Было ли продолжающееся направление исследований, или это были довольно одноразовые результаты?
Марк Рейтблатт

Ну, я бы не назвал их одноразовыми, так как эти методы дали кучу результатов. Я думаю, что в более современных результатах (скажем, за последнее десятилетие) либо используются совершенно разные методы, либо они используют больше аспекта полуалгебраической геометрии, чем топологический аспект.
Джошуа Грохов

(Я не знаю о вопросе Марка относительно результата Смейла.)
Джошуа Грохов

18

Вычислимый анализ и вычислимость более .2ω

Это связано с ответом Дейва и теорией предметной области. Основной аргумент здесь заключается в том, что вычислимость по своей природе основана на локальных операциях и конечных наблюдениях . Вы можете думать о вычислимости как об уточненном понятии топологии. Наиболее наглядным примером является то, что:

Все вычислимые функции (оракула Тьюринга) являются непрерывными. С другой стороны, каждая непрерывная функция вычисляется с помощью подходящего оракула.

Вы можете найти больше в книге Клауса Вейрауха «Вычислительный анализ». Вы также можете взглянуть на красивую книгу Стивена Викерса «Топология через логику».


15

Два других документа, которые могут иметь отношение к вашему опросу ...

М. Герке, С. Григорьев, Ж.-Е. Pin, Топологический подход к распознаванию, ICALP 2010, Часть II, Конспект лекций в области компьютерных наук 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

М. Герке, С. Григорьев, Ж.-Е. Пин, Двойственность и теория эквациональных регулярных языков, Награда за лучшую статью ICALP 2008, Трек B, ICALP 2008, Часть II, Конспект лекций в области компьютерных наук 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.


3
Добро пожаловать! Мне очень понравилась ваша обзорная статья "Профилактические методы в теории автоматов".
Нил Кришнасвами

14

Не забывайте гипотезу Кнезера и доказательство Канна-Сакса-Стертеванта для гипотезы Аандеры-Розенберга-Карпа.


14

Не видел упомянутых работ Роберта Гриста , который раньше работал в Иллинойсе, а теперь в У Пенне, применяя топологию к таким вещам , как сенсорные сети и робототехника. Вот хорошее интервью.

Также очень связано с работой Гуннара Карлссона и др. По применению топологии для анализа данных .

Возможно, не STOC / FOCS TCS, но определенно информатика.


13

Теории для понимания параллелизма и моделирования параллельных вычислений лучше всего понять топологически. Помимо известной работы Херлихи и Шавита о топологической структуре асинхронной вычислимости, упомянутой в предыдущем ответе, Эрик Губо проделал работу по моделированию параллелизма с геометрией и работу Пратта по применению пространств Чу для параллелизма в группе параллелизма Стэнфорда. хотя я не знаком с их работой.



12

Никто еще не упомянул направленную алгебраическую топологию , которая фактически была разработана для предоставления подходящего алгебраического топологического инструментария для изучения параллелизма.

Есть также несколько низкоразмерных топологических подходов к темам в теории вычислений, все они довольно новые:

  • Различные подходы к отказоустойчивым аноническим квантовым вычислениям основаны на теории кос. Смотрите, например, ЗДЕСЬ и ЗДЕСЬ . Также к сетям адиабатических квантовых вычислений ЗДЕСЬ .
  • Диаграмматические формализмы, основанные на топологии, для лямбда-исчисления (например, ЗДЕСЬ , стр. 46-48 и ЗДЕСЬ ) и для пи-вычисления Мильнера ( ЗДЕСЬ ).
  • Использование конкатенации цветных связок для моделирования рекурсивных и марковских цепей. Смотрите, например, ЗДЕСЬ и ЗДЕСЬ . Фактически доказано (неопубликовано), что таким способом можно моделировать любые вычисления машины Тьюринга и любую рекуррентную нейронную сеть первого порядка.
  • Существует более высокий класс теоретического формализма для квантовых вычислений, в котором топологические диаграммы представляют вычисления, а топологически эквивалентные диаграммы представляют различные процедуры с одинаковым вычислительным содержанием. Смотри ЗДЕСЬ .

11

Некоторые приложения для метрических вложений.

Проверьте эту книгу Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Также проверьте эти документы:

  • Би-липшицевы вложения в низкоразмерные евклидовы пространства, J. ​​Matousek (1990) (он использует теорему Ван Кампена для доказательства нижней границы)
  • Неподходимость для метрических вложений в R ^ d, J. Matousek и A. Sidiropoulos

10

прочитайте эту книгу:

Посмотреть его архивную веб-страницу


Я не знаю, действительно ли вычислительная топология - то, что он ищет. Есть ли там приложения вне вычислительной топологии?
Марк Рейтблатт

8
Мммм. Да. В книге Афры подробно рассматриваются реконструкция поверхности и удаление топологического шума (которые имеют приложения в компьютерной графике), но есть также применения вычислительной топологии в анализе многомерных данных, обучении множеству, компьютерному зрению, обработке изображений, уменьшению размерности, поиску информации, движению планирование и т. д. и т. д.
Джеффс

8

Проверьте эту книгу, вычислительная сложность: количественная перспектива, он изучает размер некоторых классов сложности, используя ограниченные ресурсами топологические инструменты.

PNPPNPNPPNPNPP


4
На самом деле, была проделана большая работа над p-мерой и p-категорией (о чем говорит туркистания). Джек Латс представил эту идею, и вы можете найти тонну статей, отыскав его, перейдя по ссылкам на соавторов и пересылкам.
Джошуа Грохов
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.