Есть ли какие-либо известные CCC, закрытые при вероятностной операции powerdomain?

Эквивалентно, существует ли известная денотационная семантика для вероятностных функциональных языков программирования высшего порядка? В частности, существует ли доменная модель чистого нетипизированного вычисления, расширенная симметричной случайной операцией двоичного выбора.$\lambda$

мотивация

Декартовы замкнутые категории обеспечивают семантику вычислений высших порядков . Вероятностные домены власти обеспечивают семантику для стохастических программ. CCC, закрытый в вероятностной операции powerdomain, обеспечит семантику стохастическому функциональному языку программирования высшего порядка.$\lambda$

Связанных с работой

Tix, Keimel и Plotkin (2004) [1] дают современные конструкции операций с нижним, верхним и выпуклым степенями, но отметим, что

По-прежнему остается открытой проблемой, существует ли декартова замкнутая категория непрерывных областей, которая является замкнутой при построении вероятностных степенных областей.

Mislove (2013) [2,3] дает семантику для непрерывных случайных величин в языке первого порядка, но отмечает, что

Несмотря на то, что область вероятностных степеней оставляет ССС направленных полных множеств (dcpos, для краткости) и непрерывных отображений Скотта инвариантами, не существует декартовой замкнутой категории областей - dcpos, которые удовлетворяют обычному предположению аппроксимации - который, как известно, инвариантен относительно эта конструкция. Лучшее, что известно, - это то, что категория когерентных областей инвариантна относительно монады вероятностного выбора [4], но эта категория не является декартовой замкнутой.

Ссылки

1. Регина Тикс, Клаус Кеймел и Гордон Плоткин (2004) «Семантические области для сочетания вероятности и недетерминизма» .
2. Майкл Мислов (2013) «Анатомия области непрерывных случайных величин I»
3. Майкл Мислов (2013) «Анатомия области непрерывных случайных величин II»
4. Юнг, А. и Р. Тикс (1998) "Беспокойный вероятностный домен власти"

Следующее является расширенным комментарием, оно не отвечает на ваш вопрос в терминах, которые вы задали, но дает семантику для вероятностных исчислений более высокого порядка, которые могут вас заинтересовать.

В последние несколько лет проводились очень активные исследования так называемой количественной денотационной семантики линейной логики, основанные на идее (первоначально благодаря Жирару [1]), что программы высшего порядка могут моделироваться степенными рядами. В вероятностном случае это принимает форму так называемых вероятностных пространств когерентности (PCS), также введенных Жираром [2] и подробно изученных Даносом и Эрхардом [3]. PCS дает модели как типизированных, так и нетипизированных вероятностных исчислений, которые имеют совершенно другую природу, чем степенные домены и другие модели, связанные с монадами. В частности, PCS дают то, что до сих пор является единственной известной полностью абстрактной моделью вероятностного PCF [4], что, как известно, трудно и, по-видимому, невозможно достичь с помощью мощных доменов (см. РаботуЖан Губо-Ларрек ).

Помимо Эрхарда, количественную семантику сейчас активно развивают Мишель Пагани и соавторы, я предлагаю вам заглянуть на его веб-страницу для получения дополнительных ссылок.

$\lambda$

[2] Жан-Ив Жирар. Между логикой и квантом: тракт . По линейной логике в информатике , CUP, 2004.

[3] Винсент Данос и Томас Эрхард. Вероятностные пространства когерентности как модель вероятностных вычислений высшего порядка . Информация и вычисления 209 (6): 966-991, 2011.

[4] Томас Эрхард, Мишель Пагани и Кристина Тассон, вероятностные пространства когерентности являются полностью абстрактными для вероятностного ПКФ . В Слушаниях POPL , стр 309-320, 2014.

Комментарий ниже является правильным, но важно понимать значение «конечных» или «компактных» элементов домена. Это обозначения объектов, вычислимых за конечное время, поэтому их появление в семантической модели не для доказательственно-теоретического удобства - они представляют собой сильную связь между моделью и фактическими вычислениями.

Что ж, цитата Мислова уже содержит положительный ответ: категория dcpos является замкнутой по картезиану, а также закрытой в рамках вероятностного домена власти. Это действительно может быть использовано для придания денотационной семантики вероятностным вычислениям высшего порядка. Однако dcpos не удовлетворяет «обычным предположениям о приближении», согласно которым каждый элемент может быть аппроксимирован «конечными» элементами в некотором смысле, как в случае алгебраического и непрерывного cpos. Эти допущения помогают с некоторыми денотационными аргументами, но не нужны для предоставления семантики как таковой.