Использование -категории в TCS

Я не теоретик информатик. Я стабильный теоретик гомотопий, использующий -категории. Я видел применения теории категорий и теории топосов к теоретической информатике, и мне было интересно, можно ли каким-либо образом использовать -категории (и, предпочтительно, для меня, теория стабильной гомотопии) в теоретической информатике. Я думаю, что HoTT может быть одним из таких приложений, но я вполне могу ошибаться, потому что я почти ничего не знаю о HoTT. (Так что я также не знаю, как HoTT используется в TCS.)$\infty$$\infty$

Применение более высоких теоретико-гомотопических идей к CS все еще очень зарождающееся поле! Насколько я понимаю, это даже не так старо, как математическое поле.

Конечно, HoTT является центральным стимулом для таких идей. Хотя и там, было только несколько применений теории категорий «размерности» выше 2.

Одним из хороших "компьютерных наук" является теория гомотопических патчей Anguili et al . Они показывают, что некоторые общие операции и свойства, присущие gitсистемам управления версиями, лучше всего понять с помощью теории гомотопического типа.

Другим довольно не связанным ходом мысли является интересная работа о взаимосвязи между (2-) теорией гомологий и слиянием систем переписывания терминов (или более сложных структур, таких как высшие алгебры). Некоторые примеры

Ю. Гиро Слияние линейного переписывания и гомологии алгебр .

Ю. Лафонт и А. Пруте Черч-Россер о свойстве и гомологии моноидов .

Теоретические компьютерные ученые делают много вещей, одна из которых - математическое моделирование различных компьютерных наук. Например, нам нравится предоставлять математические модели языков программирования, чтобы люди могли реально доказать что-то о программах (например, доказать, что программа делает то, что должна). В этом смысле всегда хорошо иметь хороший запас математических методов, которые дадут нам модели для различных вещей, которые придумывают компьютерные ученые.

На самом деле теоретические компьютерные ученые должны были изобрести некоторые довольно сложные математические модели, потому что они хотели получить хорошее математическое представление о том, что делают компьютерные ученые. Часто классическая теория множеств не является достаточно хорошим для наших целей, например , потому что мы хотим не-tivial полную небольшую категорию или нетривиальное множество , удовлетворяющих .D ≅ D $D$$D \cong D^D$

Недавно была обнаружена связь между теорией типов (которая является общим обобщением языков программирования, логики и теории множеств) и теорией гомотопий. Что еще из этого получится, еще очень рано говорить, но наше понимание теории типов, безусловно, было продвинуто идеями гомотопической теории. И наоборот, становится ясно, что теория интенсиональных типов, что бы это ни было, является очень хорошим формальным языком для описания -категорий. Люди подозревают, что должна быть «теория направленного типа», которая соответствовала бы -категориям, но никто еще не уверен. Это активная область исследований.$(\infty,1)$$\infty$

Единственная связь между устойчивой гомотопической теорией и теорией типов, о которой я знаю, - это работа Маттиса Вакара по теории линейных зависимых типов . По-видимому, одной из его моделей является теория стабильной гомотопии, но она еще не была опубликована, только намекается в конце связанной статьи.

Другое место, где вы можете найти применение теории гомотопий (стабильной или нет) в информатике, это вычислительная топология . В последнее время настойчивые гомологии нашли много применений, и люди наверняка смотрят на теоретико-гомотопические приложения подобного рода. Основная идея заключается в использовании алгебраической топологии для изучения свойств больших наборов данных.

Без сомнения, есть и другие приложения. Коди упомянул об использовании теории гомотопий (под видом теории гомотопических типов) для изучения систем контроля версий. Существуют также приложения теории гомотопий для изучения параллельных и кинкуррентных вычислений, таких как « алгебраическая топология и параллелизм ». Кто-то более знающий может быть достаточно любезен, чтобы предоставить лучшие ссылки. В любом случае, вы заметите, что все эти приложения (за возможным исключением теории гомотопического типа) довольно просты с математической точки зрения - что не означает, что они бесполезны!

это попытка набросать более общие связи. некоторые из этой программы можно считать очень недавним и более сложным расширением старого соответствия Карри-Говарда, отмеченного между доказательствами и программами. Существует также тесная связь с автоматическим доказательством теорем (так называемые ассистенты). многие методы, используемые в автоматических доказательствах теорем, не имеют абсолютно твердого математического обоснования, а теория гомотопии добавляет более надежное обоснование.

Это предложение значительной группы охватывает / изучает большую часть известных в настоящее время связей с CS: теория гомотопических типов: объединенные основы математики и вычислений (предложение MURI)

Ликата из этой команды особенно интересуется компьютерными научными приложениями теории гомотопий. некоторые из его выступлений, а одна из них - воеводский основатель выдающейся аксиомы однолистности :

• Математические и вычислительные приложения теории гомотопического типа. Коллоквиум в университете штата Айова. Ноябрь 2013 года. [ Слайды ]

• Проверенные компьютером доказательства в логике теории гомотопий. Приглашенный доклад на встрече Ассоциации символической логики в Северной Америке. Май 2013 года. [ Слайды ]

• Программирование и доказательство в теории гомотопических типов. Коллоквиум в Уэслиане, Принстоне и Корнелле. Весна 2013 года. [ Слайды ]

• Информатика и теория гомотопий , 10-метровая видеолекция Воеводского / IAS