Могут ли типизированные лямбда-исчисления выражать * все * алгоритмы ниже заданной сложности?

Я знаю, что сложность большинства разновидностей типизированных лямбда-исчислений без примитива Y-комбинатора ограничена, т. Е. Могут быть выражены только функции ограниченной сложности, причем граница увеличивается с ростом выразительности системы типов. Напомню, что, например, исчисление конструкций может выражать, по крайней мере, двукратно экспоненциальную сложность.

Мой вопрос касается того, могут ли типизированные лямбда-исчисления выражать все алгоритмы с определенной степенью сложности или только некоторые? Например, существуют ли алгоритмы экспоненциального времени, не выражаемые никаким формализмом в лямбда-кубе? Какова «форма» пространства сложности, которое полностью покрыто различными вершинами Куба?

Я дам частичный ответ, я надеюсь, что другие заполнят пробелы.

В типизированных -calculi можно дать тип обычным представлениям данных ( для целочисленных (унарных) чисел, для двоичных строк, для логических значений) и задаться вопросом, что является сложностью функций / задач, представимых / разрешимых типизированными терминами. Я знаю точный ответ только в некоторых случаях, и в случае с простым набором он зависит от соглашения, используемого при определении «представимого / разрешимого». Во всяком случае, я не знаю ни одного случая, в котором бы была двойная экспоненциальная верхняя граница.N a t S t r B o o $\lambda$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Bool}$

Сначала краткий обзор Лямбда-куба. Его 8 исчислений получены путем включения или выключения следующих 3 видов зависимостей поверх простого типа калькуляции (STLC):$\lambda$

• полиморфизм : сроки могут зависеть от типов;
• зависимые типы : типы могут зависеть от условий;
• более высокий порядок : типы могут зависеть от типов.

(Зависимость терминов от терминов всегда есть).

Добавление полиморфизма Урожайность System F. Здесь вы можете ввести целые Церкви с , и аналогично для двоичных строк и логических значений. Жирар доказал, что члены системы F типа N a t → N a t представляют в точности числовые функции, совокупность которых доказуема в арифметике Пеано второго порядка. Это в значительной степени повседневная математика (хотя и без какой-либо формы выбора), поэтому класс огромен, функция Аккермана является своего рода крошечным микробом, не говоря уже о функции 2 $\mathsf{Nat}:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$ . Я не знаю ни одной «естественной» числовой функции, которая не может быть представлена ​​в Системе F. Примеры обычно строятся с помощью диагонализации или кодирования согласованности PA второго порядка или других трюков с собственнойссылкой(например, определениеβ-равенства в Системе Ф сам). Конечно, в системе F вы можете преобразовать между унарными целыми числамиNatи их двоичным представлениемStr, а затем проверить, например, является ли первый бит 1, таким образом, класс разрешимых задач (по типуStr→Bоол) одинаково огромен.$2^{2^n}$$\beta$$\mathsf{Nat}$$\mathsf{Str}$$\mathsf{Str}\rightarrow\mathsf{Bool}$

Остальные 3 исчисления лямбда-куба, которые включают полиморфизм, следовательно, по меньшей мере так же выразительны, как и система F. К ним относятся система F ω (полиморфизм + более высокий порядок), которая может точно выражать доказуемо полные функции в PA более высокого порядка, и исчисление Конструкции (CoC) - наиболее выразительное исчисление куба (все зависимости включены). Я не знаю характеристику выразительности CoC с точки зрения арифметических теорий или теорий множеств, но это должно быть довольно пугающим :-)$_\omega$

Я гораздо более невежественен в отношении исчислений, полученных путем простого включения зависимых типов (по существу, теории типов Мартина-Лёфа без равенства и натуральных чисел), типов более высокого порядка или обоих. В этих исчислениях типы мощные, но термины не могут получить доступ к этой силе, поэтому я не знаю, что вы получите. В вычислительном отношении я не думаю, что вы получите гораздо больше выразительности, чем с простыми типами, но я могу ошибаться.

Таким образом, мы остались с STLC. Насколько я знаю, это единственное исчисление Куба с интересными (то есть не чудовищно большими) верхними границами сложности. На TCS.SE есть вопрос без ответа , и на самом деле ситуация немного тонкая.

Во-первых, если вы исправите атом и определите N a t : = ( X → X ) → X → X , то есть результат Швичтенберга (я знаю, что где-то в Интернете есть перевод этой статьи на английский, но я не могу его найти теперь), который говорит вам, что функции типа N a t → N a t являются в точности расширенными полиномами (с if-then-else). Если вы допускаете некоторую «слабину», т.е. вы разрешаете создавать экземпляр параметра X по своему желанию и учитывает условия типа N a t$X$$\mathsf{Nat}:=(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$$\mathsf{Nat}\rightarrow\mathsf{Nat}$$X$ спроизвольным A , можно представить гораздо больше. Например, любая башня экспонент (так что вы можете выйти далеко за пределы двукратной экспоненты), а также функция предшественника, но все равно без вычитания (если вы рассматриваете двоичные функции и пытаетесь набрать их с помощью N a t [ A ] → N a t [ A ′ ] → N a t ). Таким образом, класс числовых функций, представимых в STLC, немного странный, он является строгим подмножеством элементарных функций, но не соответствует никому из известных.$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}$$A$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Nat}[A']\rightarrow\mathsf{Nat}$

В явном противоречии с вышесказанным есть статья Mairson, в которой показано, как кодировать функцию перехода произвольной машины Тьюринга , из которой вы получаете член типа N a t [ A ] → B o o l (для некоторого типа В зависимости от M ), который, учитывая входное целое число Церковного n , имитирует выполнение M, начиная с фиксированной начальной конфигурации для ряда шагов вида 2 2 ⋮ 2 n$M$$\mathsf{Nat}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$M$$n$$M$

$$2^{2^{\vdots^{2^n}}},$$ с фиксированной высотой башни. Это не показывает, что каждая элементарная проблема разрешима STLC, потому что в STLC нет способа преобразования двоичной строки (типа ), представляющей ввод M, в тип, используемый для представления конфигураций M в Кодировка Марсона. Таким образом, кодировка как-то «неоднородна»: вы можете имитировать элементарно длинные исполнения с фиксированного входа, используя отдельный термин для каждого входа, но нет термина, который обрабатывает произвольные входы.$\mathsf{Str}$$M$$M$

$\mathcal C_{ST}$$\mathsf{Str}[A]\rightarrow\mathsf{Bool}$$A$$\mathcal C_{ST}$$\mathcal C_{ST}\subsetneq\mathrm{LINTIME}$$\mathrm{LINTIME}\setminus\mathcal C_{ST}$

---

$\mathcal C_{ST}$

$\mathcal C_{ST}=\mathsf{REG}$$\{0,1\}$

(Это теорема 3.4 в их статье).

$\mathcal C_{ST}$$\mathrm{LINTIME}$$\lambda$$\mathcal C_{ST}$

(Кстати, я поделился своим удивлением в этом ответе на вопрос МО об «неизвестных теоремах»).

Ответ на вопрос, который Дамиано поднял в своем превосходном ответе:

Я гораздо более невежественен в отношении исчислений, полученных путем простого включения зависимых типов (по существу, теории типов Мартина-Лёфа без равенства и натуральных чисел), типов более высокого порядка или обоих. В этих исчислениях типы мощные, но термины не могут получить доступ к этой силе, поэтому я не знаю, что вы получите.

$_\omega$

$\lambda{P}$$\lambda{P}\omega$

Я не знаю, какова сила нечеткого исчисления конструкций, если вы добавите индуктивные типы и большие исключения.

Я постараюсь дополнить отличный ответ Дамиано.

$\lambda$$F$ $\mathrm{HA}_2$

$\cal{T}$$\cal{L}$$\cal{T}$$\cal{L}$

$\cal{L}$

• $F$$\mathrm{HA}_2$

• $T$$\mathrm{PA}$$F$

$\lambda$$\mathrm{PTIME}$

В общем, это большой путь исследований, поэтому я просто ссылаюсь на один из моих предыдущих ответов .