Численно ограниченная версия равновесия Нэша?

Мне интересно, существует ли вычислительно ограниченная версия концепции равновесия по Нэшу, что-то вроде следующего.

Представьте себе какую-то идеальную информационную игру для двух игроков, в которую играют на доске , и которая сложна в том смысле, что оптимальная игра трудна для ОПЫТА. Предположим также, что для простоты розыгрыши невозможны. Представьте себе пару ( A , B ) рандомизированных машин Тьюринга за полиномиальное время, играющих в эту игру друг против друга. Для каждого n пусть p A , B ( n ) - вероятность того, что A побьет B в игре порядка n . (Для конкретности, допустим, что $n\times n$$(A, B)$$n$$p_{A,B}(n)$$A$$B$$n$$A$получает первый играть с вероятностью 0,5.) То , что я думаю , что было бы здорово, если бы можно было доказать существование пары с тем свойством , что не рандомизированного полиномиального времени машина Тьюринга A ' доминирует над A (где " А " доминирует A "означает p A ' , B ( n ) > p A , B ( n ) для всех достаточно больших n ), и, аналогично, отсутствует рандомизированная машина Тьюринга с полиномиальным временем B $(A,B)$$A'$ $A$$A'$$A$$p_{A',B}(n) > p_{A,B}(n)$$n$$B'$доминирует над (где « B ′ доминирует над B » означает p A , B ′ ( n ) < p A , B ( n ) для всех достаточно больших n ).$B$$B'$$B$$p_{A,B'}(n) < p_{A,B}(n)$$n$

Почему-то я подозреваю, что на это слишком много надежды, но есть ли надежда, что что-то подобное будет правдой, возможно, для ограниченного класса игр?

Одним из мотивов этого вопроса является то, что я ищу способ формализовать представление о том, что данная шахматная позиция «выгодна для белых». Классически позиция - это либо победа белых, либо нет. Однако шахматисты, как люди, так и компьютеры, имеют интуитивное понимание того, что значит для белых иметь преимущество. Похоже, что-то связано с вероятностью того, что белые выиграют, учитывая, что игроки ограничены в вычислительном отношении и должны угадывать лучший ход. Для конкретной пары рандомизированных алгоритмов можно, конечно, говорить о вероятности того, что белые выиграют, но мне интересно, может ли быть, в некотором смысле, канонический пара ограниченных в вычислительном отношении игроков, чьи вероятности выигрыша дают значение для позиции, которая зависит только от самой игры, а не от особенностей игроков.

Я не могу придумать, каким образом может быть простой, полностью элегантный / удовлетворительный ответ на этот вопрос, особенно потому, что конечный выигрыш так сложно вычислить; однако мои мысли слишком длинны, чтобы оставлять комментарии.

Лучшая идея, которая у меня есть, заключается в следующем: в случае с шахматами попытайтесь приблизить вероятность того, что белые выиграют, основываясь на материальном преимуществе белых (то есть, дополнительных пешках, рыцарях и т. Д.) Для данной позиции, случайным образом выбирая позиции с этой точной суммой. материальная конфигурация. Возможно, в случае с «шахматами с полными ладьями» мы могли бы сказать: «Какова вероятность того, что белые выиграют с 8-ю ладьями по 17-ти черным?» Возможно, эта вероятность составляет 4%; чтобы вычислить его, мы должны были бы изучить (скажем) 1000 различных случайно сгенерированных шахматных позиций, которые имеют 8 белых ладей и 17 черных ладей, а затем посмотреть в будущее (скажем) 10 ходов глубоко в каждом случае, и посмотреть, какова новая конфигурация материала , Затем возьмите ожидаемые шансы на основе конфигурации материала в конце,

Конечно, было бы необходимо найти материальную конфигурацию для каждой соответствующей возможности ( M , N ) от M белых ладей до N черных ладей ... предположительно, начиная с низшей упорядоченной пары ( M = 1, N = 1) и работая оттуда.

Для исходной позиции не просто используйте статистику, которую вы получаете (то есть, если исходная позиция имеет ( М = 6, N = 7) грачей, не просто предполагайте, что у белых есть 25% шанс на победу, потому что это ожидаемые шансы на победу (6,7)); вместо этого, поскольку вы можете быть более точным, посмотрите на 10 ходов как обычно только на эту одну позицию и найдите все возможные конечные позиции. Затем найдите правильный путь (который включает в себя оптимальную игру обеих сторон) к конфигурации с 10 ходами в глубину и выберите ожидаемые шансы этого пути в качестве ожидаемых шансов исходной позиции.

Я думаю, что этот процесс может быть выполнен за полиномиальное время. Глядя в шахматы на k глубже для фиксированного k, мы получаем полиномиальный размер доски, а общее число белых и черных ладей выражается в одном (в некотором смысле), потому что это число должно быть меньше размера доски.

Если это звучит сложно и трудно объяснить, это потому, что это так. Более краткое резюме того, что я описываю: Используйте рекурсию и базовую статистику, чтобы рассчитать шансы на победу белых, учитывая M белых ладей и N черных ладей на доске. Затем используйте эти значения, чтобы посмотреть на k ходов и выяснить шансы на победу белых в исходной позиции.

Заключительный комментарий: я думаю, что эта проблема также интересна для неэкспериментальных игр, таких как крестики-нолики, которые, согласно Википедии, являются PSPACE-полными. Кроме того, я полагаю, что процесс, подобный тому, который я описал выше, также мог бы быть полезным и там, хотя очевидно, что было бы невозможно иметь «материальное» преимущество в крестики-нолики; должна быть какая-то другая основа для оценки превосходства позиции Х или О.