Свойства, выраженные в 2-CNF или 2-SAT

Как можно показать, что определенное свойство не может быть выражено в 2-CNF (2-SAT)? Существуют ли игры, такие как игры в гальку? Похоже, что классическая игра с черной галькой и игра с черной и белой галькой для этого не подходят (они завершены PSPACE, согласно Hertel и Pitassi, SIAM J of Computing, 2010).

Или какие-либо методы, кроме игр?

Изменить : я думал о свойствах, которые включают подсчет (или количество элементов) неизвестного предиката ( предикат SO , как сказали бы теоретики конечных моделей). Например, как в клике или невзвешенном сопоставлении. (a) Клика : есть ли клика в данном графе такая, что какой-то номер ? (b) Соответствие : существует ли такое соответствие в , что ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

Может ли 2-SAT рассчитывать? Есть ли у него счетный механизм? Кажется сомнительным.

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— Самир Гупта
источник

Я понимаю, что в теории конечных моделей есть игра Эренфойхта – Фрайссе (для FO) и игра Айтаи-Фагена (для монадической SO). Но не уверен, что их здесь достаточно. Также игры в FMT усложняются упорядоченными структурами, верно?

— Самер Гупта

@Marzio кажется некоторым доказательством того, что не все булевы функции могут быть выражены в 2CNF, поскольку вы заявляете, что ответили бы на вопрос (на самом деле не уверены в этом, не рассматривайте это как очевидное). что это за доказательство? это где-то опубликовано?

— ВЗН

@vzn: тривиальная булева функция, которая не выражается в 2-CNF:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— Марцио Де Биаси

@SameerGupta: после переформулировки, perhpas, вопрос становится трудным :-); действительно

, где

ограничен пункты с двумя переменными (SO-Krom) захватывает NL над упорядоченными структурами, в то время как экзистенциальная SO захваты НП. Очевидно, что ограниченный FO 2-SAT не может считаться (а техники игры или компактности Ehrenfeucht – Fraïssé достаточно далеко, потому что вы можете использовать их, чтобы доказать, что PARITY не является определяемым FO).

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Марцио Де Биаси

Ok. Кажется, существует некоторая общая теория, что

SAT не может выразить все булевы функции для константы

. что это за теория? этот вопрос задает о частном случае

. Обратите внимание, что существует концепция «сокращения»

-SAT до 3-SAT посредством преобразования Цейтина . также видели подобную концепцию, проявляющуюся в монотонной схеме нижних оценок доказательства (Разборов).

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— ВЗН

Ответы:

Семейство битвекторов - это класс решений задачи 2-SAT, если и только если он обладает медианным свойством: если вы примените функцию побитового большинства к любым трем решениям, вы получите другое решение. Смотрите, например, https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiability и его ссылки. Таким образом, если вы можете найти три решения, для которых это не так, то вы знаете, что это не может быть выражено в 2-CNF.

— Дэвид Эппштейн
источник

Дэвид, спасибо, посмотрю это. @vzn - Связан ли ответ Дэвида с тем, что вы прокомментировали 2 дня назад на сайте чата, что формулы 3SAT существуют для всех наборов битовых векторов и ищете результат для формул 2SAT, касающихся наборов битовых векторов?

— Самир Гупта

Дэвид, Ювал - Конечно, ваши доказательства будут работать, если использовать один и тот же набор переменных. Но что, если набор используемых переменных может быть совершенно другим? Взгляните на ответ Мартина Сеймура здесь: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - Чтобы показать, что нет равноправного сокращения (предпочтительно пространства журналов) с K-Clique или K-Matching до 2SAT, потребуется другое доказательство , Мысли?

— Самер Гупта

Добавление вспомогательных переменных и последующее их проецирование не помогут, потому что если медианное свойство истинно для расширенной системы переменных, то оно все еще верно в проекции.

— Дэвид Эппштейн

Другой способ сказать, что медиана (или большинство) - это полиморфизм для ограничений 2SAT. На самом деле, известно, что любой CSP (даже не булев), который имеет большинство в виде полиморфизма, находится в

(Dalmau-Krokhin '08).

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— Арнаб

Пусть - свойство по переменным. Предположим , что существует 2CNF формула , такие , что $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ Мы утверждаем, что эквивалентна формуле 2CNF включающей только . Чтобы доказать это, достаточно показать, как устранить . Напишите

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

где

являются литералами, и

не включает

. Формула

эквивалентна

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

Это доказывает утверждение, когда

не фигурирует в предложении единицы; если это произойдет, мы можем устранить это напрямую.

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

Мы пришли к выводу , что можно представить в виде формулы 2CNF тогда и только тогда существует формула 2CNF эквивалентна . Следовательно, свойство выражается как 2CNF, если каждое фальсифицирующее присваивание форсируется не более чем двумя литералами. В частности, -clique и -matching не могут быть выражены как 2CNF (кроме углового случая -clique). $P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Юваль Фильмус
источник

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(Да, я знаю, что сложение, умножение и подсчет вычисляют функции, но их легко преобразовать в версии решения соответствующих задач.)

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(c) Таким образом, для подсчета , даже если вы не можете получить эквивалентное выражение в 2-CNF, используя метод, описанный в (b), вы можете получить равноудаленное выражение 2-CNF.

Так что да, 2-SAT может рассчитывать.

$NL$ $|M|$ $NL$

— Мартин Сеймур
источник

С другой стороны, если вы верите моему ответу, то эквивалентное выражение 2-CNF может быть преобразовано в истинное эквивалентное выражение 2-CNF.

— Юваль Фильмус

-

$-$

$~$

Вы можете прочитать мой ответ и убедиться в этом. Обратите внимание, что в этом случае нет временных / пространственных границ.

— Юваль Фильмус

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$